Eŭlera idento

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Eŭlera formulo por ajna angulo. La eŭlera idento rezultiĝas se preni ke φ=π.

En matematiko, la eŭlera idento estas la idento

e + 1 = 0

kie e estas la bazo de la natura logaritmo,

i estas la imaginara unuo, nombro kies kvadrato egalas al -1: i2 = -1
π estas pi, la rilatumo de la cirkonferenco de cirklo al ĝia diametro.

L eŭlera idento estas ofte konsiderita kiel rimarkinda pro ĝia matematika belo. Tri bazaj aritmetikaj operacioj okazas akurate po unufoje: adicio, multipliko, potencigo. La idento kunligas kvin fundamentajn matematikajn konstantojn:

Pruvo[redakti | redakti fonton]

La idento estas speciala okazo de la eŭlera formulo el la kompleksa analitiko:

e^{i x} = \cos{x} + i \sin{x}\quad

kun preno de x = \pi\quad:

e^{i \pi} = \cos{\pi} + i \sin{\pi}\quad

Pro tio ke \cos{\pi} = -1\quad kaj \sin{\pi} = 0\quad rezultiĝas

e^{i \pi} = -1\quad

kiu donas la eŭleran identon.

Geometria interpretado[redakti | redakti fonton]

e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n

 e^{i \pi} \simeq (1 + \dfrac{i\pi}{N})^N \simeq -1 por granda N.

Geometrie ĉi tio respektivas al algluo de N ortaj trianguloj kun angulo kies tangento estas π/N radianoj al la segmento [0, 1] sur la kompleksa ebeno. La lasta triangulo havas tiam lateron proksiman al segmento [0, -1]. La preciza rezulto estas ricevata per algluo de N cirklaj sektoroj kun angulo α=π/N.

EulerIdentity2.png

Se N pligrandiĝas, la triangulo kaj la cirkla segmento iĝas pli similaj

EulerIdentity8.png EulerIdentity16.png
Algluo de 8 aŭ 16 trianguloj

Ĝeneraligo[redakti | redakti fonton]

Eŭlera idento estas speciala okazo de la pli ĝenerala idento ke por n>1 sumo de ĉiuj n-aj radikoj de unu, egalas al 0:

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .

Eŭlera idento estas la okazo n=2, kun tio ke e0 = 1.

Atribuo[redakti | redakti fonton]

Eŭlero skribis la formulon pri interrilato de eksponento al sinuso kaj kosinuso, sed ne estas sciate Eŭlero reale skribis la identon en ĉi tia simpla formo, la formulo estis verŝajne sciata antaŭ Eŭlero.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]