Koŝia vico

En analitiko, koŝia vico estas vico, kies eroj proksimiĝas kiam la plu kaj plu sekvaj eroj de la vico estas konsiderataj. Alivorte, per preno de finia numero de eroj de la starto de la vico oni povas fari la distancon inter ĉiu paro da ceteraj eroj ajne malgranda.

Koŝiaj vicoj postulas la nocion de distanco; tial, ili povas nur esti difinitaj en metrika spaco. Ĝeneraligoj al pli abstraktaj uniformaj spacoj ekzistas en la formo de koŝia filtrilo kaj koŝia reto.

Ili estas interesaj ĉar en kompleta metrika spaco, ĉiuj tiaj vicoj konverĝas al limigo, kaj oni povas provi la koŝiecon sen scio de la valoro de la limigo (se ĝi ekzistas), en kontrasto al la difino de konverĝo.

Difino

En metrika spaco (M, d), vico

$x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$

estas koŝia, se por ĉiu pozitiva reelo $\epsilon >0$, ekzistas pozitiva entjero N tia ke por ĉiuj entjeroj m,n tiaj ke por ĉiuj ajn m > N, n > N, la distanco

$d(x_{m},x_{n})$

estas malpli granda ol $\epsilon$. Malglate parolante, la eroj de la vico estas pli kaj pli proksimaj kune kvazaŭ la vico devi havi limigon en M. Tamen, la limigo povas ne ekzisti. Metrika spaco X en kiu ĉiu koŝia vico havas limigon en X estas nomata kiel kompleta metrika spaco.

Koŝia vico de reeloj

La spaco de reeloj $\mathbb {R}$ estas metrika spaco. En tiu spaco, do, vico de reeloj $(x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc )$ estas koŝia se, por ĉiu pozitia reelo $\epsilon >0$, ekzistas pozitiva entjero N tia ke, se $m\geq n>N$, do $|x_{m}-x_{n}|<\epsilon$, kie la vertikalaj strekoj estas la absoluta valoro.

Propraĵoj

Ĉiu konverĝa vico estas koŝia vico. Ĉiu koŝia vico estas barita. Se $f\colon M\rightarrow N$ estas unuforme kontinua mapo inter la metrikaj spacoj M kaj N kaj (x_n) estas koŝia vico en M, tiam $(f(x_{n}))$ estas koŝia vico en N. Se $(x_{n})$ kaj $(y_{n})$ estas du koŝiaj vicoj en la spaco de racionalaj reelaj aŭ kompleksaj nombroj, tiam la vicoj de sumoj $(x_{n}+y_{n})$ kaj produtoj $(x_{n}y_{n})$ estas koŝiaj vicoj.

Ekzemplo

Jen du ekzemploj de koŝiaj vicoj (sen limeso) en la metrika spaco de racionalaj nombroj.

• La vico difinita per x₀ = 1, x_n+1 = (x_n + 2/x_n)/2 konsistas de racionalaj nombroj (1, 3/2, 17/12,...), kio estas klara de la difino; ĝi estas vico al la neracionala nombro kvadrata radiko de du.
• La valoroj de la eksponenta funkcio e^x, sinuso sin(x) kaj kosinuso cos(x), estas malracionalaj por ĉiuj racionalaj x≠0, sed ĉiu el ili estas difinita kiel limigo de racionala vico kiu estas vico de partaj sumoj de la serio de Taylor.

Historio

La koncepto de la koŝia vico nomiĝas laŭ Augustin Louis Cauchy (Esperante Aŭgusteno Koŝio).

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Cauchy sequence en MathWorld.