Listo de unuformaj ebenaj kahelaroj

Ĉi tie estas listigitaj uniformaj kahelaroj da la eŭklida kaj hiperbola ebenoj.

Konveksaj uniformaj kahelaroj de la eŭklida ebeno

Sube estas montritaj la 11 konveksaj uniformaj kahelaroj de la eŭklida ebeno kaj iliaj dualaj kahelaroj.

Estas tri regulaj kaj 8 duonregulaj kahelaroj de la ebeno.

Uniformaj kahelaroj estas listigitaj kun iliaj verticaj konfiguroj, kiu estas vico de edroj kiuj estas ĉirkaŭ ĉiu vertico, ĉiu edro estas priskribita per sia kvanto de lateroj.

Dualaj kahelaroj estas listigitaj per iliaj edraj konfiguroj, kiu estas vico de verticoj kiuj estas ĉirkaŭ ĉiu edro, ĉiu vertico estas priskribita per sia kvanto de lateroj ĉe si.

Ĉi tiuj 11 uniformaj kahelaroj havas 32 malsamajn uniformajn kolorigojn. Uniforma kolorigo permesas al identaj edroj al esti kolorigitaj (kaj konsiderataj) malsame, tamen konservante vertico-transitivecon. Noto: Iu el la bildoj de kahelaroj en ĉi tiu artikolo estas ne uniforme kolorigitaj.

La R₃ {4,4} familio

Uniforma kahelaro	Vertica konfiguro Simbolo de Schläfli Geometria simetria grupo	Duala kahelaro
Kvadrata kahelaro (regula)	4.4.4 {4,4} p4m	Mem-duala
Senpintigita kvadrata kahelaro	4.8.8 t{4,4} p4m	Kvarlateropiramidigita kvadrata kahelaro
Riproĉa kvadrata kahelaro	3.3.4.3.4 s{4,4} p4g	Kaira kvinlatera kahelaro

La V₃ {6,3} familio

Uniforma kahelaro	Vertica konfiguro Simbolo de Schläfli Geometria simetria grupo	Duala kahelaro
Seslatera kahelaro (regula)	6.6.6 {6,3} t{3,6} p6m	Triangula kahelaro
Tri-seslatera kahelaro	3.6.3.6 ${\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$ p6m	Kvazaŭregula romba kahelaro
Senpintigita seslatera kahelaro	3.12.12 t{6,3} p6m	Trilateropiramidigita triangula kahelaro
Triangula kahelaro (regula)	3.3.3.3.3.3 {3,6} p6m	Seslatera kahelaro
Malgranda rombo-tri-seslatera kahelaro	3.4.6.4 $r{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$ p6m	Deltosimila tri-seslatera kahelaro
Granda rombo-tri-seslatera kahelaro	4.6.12 $t{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$ p6m	Dusekcita seslatera kahelaro
Riproĉa seslatera kahelaro	3.3.3.3.6 s{6,3} p6	Florosimila kvinlatera kahelaro

Ne konstruebla per konstruo de Wythoff

Uniforma kahelaro	Vertica konfiguro Simbolo de Schläfli Geometria simetria grupo	Duala kahelaro
Plilongigita triangula kahelaro	3.3.3.4.4 {3,6}:e cmm	Prisma kvinlatera kahelaro

Aldonaj uniformaj kahelaroj

Estas ankaŭ aldonaj uniformaj kahelaroj, kiuj povas esti konsiderataj. Ili havas jenajn diferencojn de la supre listigitaj:

Kahelaroj kiuj estas analogaj al nekonveksaj uniformaj pluredroj:
- Verticaj figuroj povas havi retroirajn edrojn kaj turniĝi ĉirkaŭ la vertico pli ol unufoje.
- Nekonveksaj stelaj edroj povas esti uzataj.
Malfiniolateraj edroj {∞} povas esti uzitaj.

Entute povas esti konsiderataj 39 uniformaj kahelaroj. sube ili estas donitaj per vertica konfiguro kaj simbolo de Wythoff.

La 3 novaj kahelaroj kun du {∞} edroj:

∞.∞ (Du duonebeno (kaheloj, kahelas), malfinia duedro)
4.4.∞ - ∞ 2 | 2 (malfinia prismo)
3.3.3.∞ - | 2 2 ∞ (malfinia kontraŭprismo)

La 4 novaj kahelaroj, faritaj surbaze iuj el la 11 la bazaj, per anstataŭigo de iuj edroj per {∞} edroj:

4.∞.4/3.∞ - 4/3 4 | ∞ (alterna kvadrata kahelaro)
3.∞.3.∞.3.∞ - 3/2 | 3 ∞ (alterna triangula kahelaro)
6.∞.6/5.∞ - 6/5 6 | ∞ (alterna tri-seslatera kahelaro kun nur seslateroj)
∞.3.∞.3/2 - 3/2 3 | ∞ (alterna tri-seslatera kahelaro kun nur trianguloj)

La cetera listo inkluzivas 21 kahelarojn, el ili 7 estas kun {∞} edroj. Estas nur 14 unikaj situoj de lateroj de ĉi tiuj 21 kahelaroj, kaj sube ili estas grupigitaj laŭ situo de lateroj en 14 specojn. La unua speco havas situon de lateroj identan al tiu de 3.4.6.4 kahelaro.

Speco 1
- 3/2.12.6.12 - 3/2 6 | 6
- 4.12.4/3.12/11 - 2 6 (3/2 3) |
Speco 2
- 8/3.4.8/3.∞ - 4 ∞ | 4/3
- 8/3.8.8/9.8/7 - 4/3 4 (2 ∞) |
- 8.4/3.8.∞ - 4/3 ∞ | 4
Speco 3
- 12/5.6.12/5.∞ - 6 ∞ | 6/5
- 12/5.12.12/7.12/11 - 6/5 6 (3 ∞) |
- 12.6/5.12.∞ - 6/5 ∞ | 6
Speco 4
- 12/5.3.12/5.6/5 - 3 6 | 6/5
- 12/5.4.12/7.4/3 - 2 6/5 (3/2 3) |
- 4.3/2.4.6/5 - 3/2 6 | 2
Speco 5
- 8.8/3.∞ - 4/3 4 ∞ |
Speco 6
- 12.12/5.∞ - 6/5 6 ∞ |
Speco 7
- 8.4/3.8/5 - 2 4/3 4 |
Speco 8
- 6.4/3.12/7 - 2 3 6/5 |
Speco 9
- 12.6/5.12/7 - 3 6/5 6 |
Speco 10
- 4.8/5.8/5 - 2 4 | 4/3
Speco 11
- 12/5.12/5.3/2 - 2 3 | 6/5
Speco 12
- 4.4.3/2.3/2.3/2 - ne konstruebla per konstruo de Wythoff
Speco 13
- 4.3/2.4.3/2.3/2 - riproĉa
Speco 14
- 3.4.3.4/3.3.∞ - riproĉa

Uniformaj kahelaroj de hiperbola ebeno

La {p,q} familioj

Estas malfinia kvanto da regulaj kahelaroj de la hiperbola ebeno. La kahelaroj povas esti konstruitaj el regulaj konveksaj p-lateroj, kun q el ili ĉirkaŭ ĉiu vertico (do kun simbolo de Schläfli {p,q}), se sumo de la anguloj ĉe vertico estas pli granda ol 360 gradoj (la angula difekto estas negativa). La kondiĉo povas esti skribita kiel

(p-2)(q-2) > 4

Do povas esti ĉirkaŭ ĉiu vertico:

Trianguloj - 7 aŭ pli multaj
Kvadratoj - 5 aŭ pli multaj
Kvinlateroj - 4 aŭ pli multaj
Seslateroj - 4 aŭ pli multaj
p-lateroj (p ≥ 7) - 3 aŭ pli multaj

Surbaze de ili per operacioj povas esti konstruitaj uniformaj neregulaj kahelaroj.

Sube estas montritaj du familioj - {7,3} (3 sepanguloj aŭ 7 trianguloj ĉirkaŭ ĉiu vertico) kaj {5,4} (4 kvinlateroj aŭ 5 kvadratoj ĉirkaŭ ĉiu vertico)

La bildoj estas projekcioj kiel diska modelo de Poincaré.

La {7,3} familio

Uniforma kahelaro	Vertica konfiguro Simbolo de Schläfli Geometria simetria grupo	Duala kahelaro
Ordo-3 seplatera kahelaro (regula)	7.7.7 {7,3} [7,3]	Ordo-7 triangula kahelaro
Ordo-3 senpintigita seplatera kahelaro	3.14.14 t{7,3} [7,3]	Ordo-7 trilateropiramidigita triangula kahelaro
Tri-seplatera kahelaro	3.7.3.7 ${\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}$ aŭ t₁{7,3} [7,3]	Ordo-7-3 kvazaŭregula romba kahelaro
Ordo-7 senpintigita triangula kahelaro	7.6.6 t{3,7} [7,3]	Ordo-3 seplateropiramidigita seplatera kahelaro
Ordo-7 triangula kahelaro (regula)	3⁷ {3,7} [7,3]	Ordo-3 seplatera kahelaro
Malgranda rombo-tri-seplatera kahelaro	3.4.7.4 $r{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}$ aŭ t_0,2{7,3} [7,3]	Deltosimila tri-seplatera kahelaro
Granda rombo-tri-seplatera kahelaro	4.6.14 $t{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}$ aŭ t_0,1,2{7,3} [7,3]	Ordo-3 dusekcita seplatera kahelaro
Ordo-3 riproĉa seplatera kahelaro (nememspegulsimetria)	3.3.3.3.7 s{7,3} [7,3]	Ordo-7-3 florosimila kvinlatera kahelaro (nememspegulsimetria)

La {5,4} familio

Uniforma kahelaro	Vertica konfiguro Simbolo de Schläfli Geometria simetria grupo	Duala kahelaro
Ordo-4 kvinlatera kahelaro (regula)	5.5.5.5 {5,4} [5,4]	Ordo-5 kvadrata kahelaro
Senpintigita kvinlatera kahelaro	4.10.10 t{5,4} [5,4]	Ordo-5 kvarlateropiramidigita kvadrata kahelaro
Kvar-kvinlatera kahelaro	4.5.4.5 ${\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}$ aŭ t₁{5,4} [5,4]	Ordo-5-4 kvazaŭregula romba kahelaro
Ordo-5 senpintigita kvadrata kahelaro	8.8.5 t{3,7} [5,4]	Ordo-4 kvinlateropiramidigita kvinlatera kahelaro
Ordo-5 kvadrata kahelaro (regula)	4⁵ {4,5} [5,4]	Ordo-4 kvinlatera kahelaro
Malgranda rombo-kvar-kvinlatera kahelaro	4.4.5.4 $r{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}$ aŭ t_0,2{5,4} [5,4]	Deltosimila kvar-kvinlatera kahelaro
Granda rombo-kvar-kvinlatera kahelaro	4.8.10 $t{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}$ aŭ t_0,1,2{5,4} [5,4]	Ordo-4 dusekcita kvinlatera kahelaro
Ordo-4 riproĉa kvinlatera kahelaro (nememspegulsimetria)	3.3.4.3.5 s{5,4} [5,4]	Ordo-5-4 florosimila kvinlatera kahelaro (nememspegulsimetria)

La (p q r) familioj

Ankaŭ estas familioj konstrueblaj per konstruo de Wythoff kun nombroj (p q r) kun p≥4, q≥3, r≥3 (ne priskribeblaj per simbolo de Schläfli {p,q}).

En ĝenerala okazo ĉi tiaj familioj ne inkluzivas regulajn kahelarojn. Montrita sube aperinta en (4 3 3) familio regula ordo-8 triangula kahelaro fakte respektivas al {8,3} familio.

Sube estas montrita (4 3 3) familio.

La bildoj estas projekcioj kiel diska modelo de Poincaré.

La (4 3 3) familio

Uniforma kahelaro	Vertica konfiguro Simbolo de Wythoff Geometria simetria grupo	Duala kahelaro
Ordo-4-3-3_t0 kahelaro	(3.4)^3 3 \| 3 4 (4 3 3)	Ordo-4-3-3_t0 duala kahelaro
Ordo-4-3-3_t01 kahelaro	3.8.3.8 3 3 \| 4 (4 3 3)	Ordo-4-3-3_t01 duala kahelaro
Ordo-4-3-3_t12 kahelaro	3.6.4.6 4 3 \| 3 (4 3 3)	Ordo-4-3-3_t12 duala kahelaro
Ordo-4-3-3_t2 kahelaro (ordo-8 triangula kahelaro (regula))	(3.3)⁴ 4 \| 3 3 (4 3 3)	Ordo-4-3-3_t2 duala kahelaro (ordo-3 oklatera kahelaro (regula))
Ordo-4-3-3_t012 kahelaro (ordo-8 senpintigita triangula kahelaro)	6.6.8 4 3 3 \| (4 3 3)	Ordo-4-3-3_t012 duala kahelaro
Ordo-4-3-3 riproĉa kahelaro (nememspegulsimetria)	3.3.3.3.3.4 \| 4 3 3 (4 3 3)	Ordo-4-3-3 riproĉa duala kahelaro (nememspegulsimetria)

Vidu ankaŭ

Konveksa uniforma kahelaro de eŭklida 3-spaco - la 28 uniformo 3-dimensiaj kahelaroj, paralela konstruado al la konveksaj uniformaj Eŭklidaj ebenaj kahelaroj.

Referencoj

Branko Grünbaum, Shephard G. C.. (1987) Tilings and Patterns - Kahelaroj kaj ŝablonoj. Novjorko: W. H. Freeman. ISBN 0-716-71193-1. (Ĉapitro 2.1: Regulaj kaj uniformaj kahelaroj, p.58-65)

Eksteraj ligiloj

greke Uniformaj kahelaroj sur la eŭklida ebeno greke Kahelaroj de la ebeno greke Mondo de kahelaroj greke k-uniformaj kahelaroj greke n-uniformaj kahelaroj