Metodo de Rajse

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Metodo de Rajse (integralo de Norlundo-Rajse) estas integralo bindas n fina diferenco kun kurba integralo en komplekso ebeno.

Integro[redakti | redakti fonton]

Por meromorfa funkcio (ruse : Мероморфная функция) f noa fina diferenco \Delta^n[f](x) povas bildigi kiel

\Delta^n[f](x)= \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^{n-k} f(x+k),
kie
{n \choose k} — binoma koeficiento.

Transpasas al integradon en ĉirkaŭaĵo poluso punktoj \alpha \ldots n kaj ĉe kondiĉo, ke funkcio f ne havas polusojn, sekvas

\sum_{k=\alpha}^n {n \choose k} (-1)^{n-k} f(k) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z(z-1)(z-2)\ldots(z-n)}\, dz
для 0 \leqslant \alpha \leqslant n (\alpha \in \mathbb {N}).

Ni povas skribi la integralo kiel

\sum_{k=\alpha}^n {n \choose k} (-1)^{k} f(k) = -\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma B(n+1, -z) f(z)\, dz,
kie
B(a,b) — Beta-funkcio de Eŭler.

Iteracio de Poisson-Mellin-Neŭton[redakti | redakti fonton]

Se \{f_n\} — ia vico kaj se g(t) — ia deriva funkcio (ruse : Производящая функция последовательности), kaj se g(t) = e^{-t} \sum_{n=0}^\infty f_n t^n , do

UzatneKonverto de Mellin, ricevas, ke

\phi(s)=\int_0^\infty g(t) t^{s-1}\, dt.

Tiam ni povas trovas originala vico kun helpo de integralo de Norlundo-Rajse:

f_n = \frac{(-1)^n }{2\pi i} \int_\gamma \frac {\phi(s)}{\Gamma(-s)} \frac{n!}{s(s-1)\cdots (s-n)}\, ds,
kie
\Gamma — Γ-funkcio.

Literaturo[redakti | redakti fonton]