Skalaro (matematiko)
Skalaro estas koncepto uzata en matematiko kaj fiziko. Plej ĝenerale, skalaro estas unuopa nombro, kontraste al vektoroj kaj matricoj, kiuj estas aroj el kelkaj nombroj.
En matematiko, skalaro estas membro de la baza korpo de iu vektorspaco. En fiziko, ĝi estas kvanto esprimebla per unu nombro, kiu devas esti sendependa de ajna koordinatsistemo.
Multaj fizikaj valoroj povas esti skalaro aŭ vektoro depende de simpleco de priskribita situacio. Ekzemple, rapido estas skalaro se la aĵo moviĝas nur laŭlonge de unu linio kaj vektoro se ĝi moviĝas en ĉiuj direktoj.
En lineara algebro, skalaro estas ero de kampo — kutime la reelaj aŭ kompleksaj nombroj — kiuj povas esti multiplikitaj per vektoro de vektora spaco, tra la operacio de skalara multipliko, cedante alian vektoron.
Ankaŭ, skalara produto estas operacio (ne konfuzinda kun skalara multipliko) kiu povas esti difinita sur vektora spaco, permesanta du vektoroj esti multiplikitaj por produkti skalaro. Vektora spaco ekipita kun skalara produto estas nomita skalara produta spaco.
La reela komponanto de kvaterniono estas ankaŭ nomita ĝia skalara parto.
La termino estas ankaŭ iam uzita neformale por signifi vektoron, matricon, tensoron, aŭ alian kutime "kombinaĵo" valora kiu estas reale reduktita al sola komponanto. Tial, ekzemple, la produto de 1×n matrico kaj n×1 matrico, kiu estas formale 1×1 matrico, estas ofte dirita al esti skalaro.
La termino skalara matrico estas kutime signifanta matricon de la formo kI kie k estas skalaro kaj I estas la identa matrico.
Etimologio
La vorto skalaro deriviĝas de la vorto "skalo" por limigo de nombroj, kiu laŭvice estas derivita de scala (latina por "ŝtupetaro"). Laŭ citaĵo en la Oksforda Angla Vortaro la unua skribita uzo de la termino estis far W. R. Hamilton en 1846, por nomi la reelan parton de kvaterniono:
- La algebre reela parto povas ricevi, laŭ la demando en kiu ĝi okazas, ĉiuj valoroj enhavita sur la unu skalo de progresio de nombroj de negativa al pozitiva malfinio; ni nomos ĝin pro tio la "skalara parto".
Difinoj kaj propraĵoj
Skalaroj de vektoraj spacoj
Vektora spaco estas difinita kiel aro de vektoroj, aro de skalaroj, kaj skalara multiplika operacio, kiu prenas skalaron k kaj vektoron v al alia vektoro kv. Ekzemple, en koordinata spaco, la skalara multipliko rendimento . En (lineara) funkcia spaco, kf estas la funkcio x k(f(x)).
La skalaroj povas esti prenitaj de iu ajn kampo, inkluzivante la racionalajn nombrojn, algebrajn nombrojn, reelajn nombrojn, kompleksajn nombrojn, kaj ankaŭ finiajn kampojn.
Skalaroj kiel vektoraj komponantoj
Laŭ fundamenta teoremo de lineara algebro, ĉiu vektora spaco havas bazon. Sekvas, ke ĉiu vektora spaco super skalara kampo K estas izomorfia al koordinata vektora spaco kie la koordinatoj estas eroj de K. Ekzemple, ĉiu reela vektora spaco de dimensio n estas izomorfia al n-dimensia reela spaco Rn.
Skalara produto
Skalara produta spaco estas vektora spaco V kun aldona operacio de skalara produto (aŭ ena produto), kiu prenas du vektorojn kaj redonas nombron. La rezulto estas kutime difinita al esti membro de V-a skalara kampo. Ĉar la ena produto de vektoro al si devas esti nenegativa, skalara produta spaco povas esti difinita nur super kampoj, kiuj subtenas la nocion de signo. Ĉi tiu ekskludas finiajn kampojn, ekzemple.
Skalaroj en normigitaj vektoraj spacoj
Alternative, vektora spaco V povas esti ekipita kun norma funkcio, kiu asignas al ĉiu vektoro v en V skalaro ǁvǁ. Per difino, multiplikante v per skalaro k ankaŭ (obligas, multiplikas) ĝian normon per |k|. Se ǁvǁ estas interpretita kiel la longo de v, tiu operacio povas esti priskribita skali la longon de v per k.
La normo estas kutime difinita esti ero de V's skalara kampo K, kiu limigas la lastan al kampoj, kiuj subtenas la nocion de signo. Ankaŭ, se V havas dimension 2 aŭ pli, K devas fermiĝi sub kvadrata radiko, kaj ankaŭ la kvar aritmetikaj operacioj; tial la racionalaj nombroj Q estas ekskluditaj. Por ĉi tiu kaŭzo, ne ĉiu skalara produta spaco estas normigita vektora spaco.
Skalaroj en moduloj
Kiam la neceso, ke la aro de skalaroj formu kampon estas malstreĉiĝita tiel ke necesas nur formi ringon (tiel ke, ekzemple, la divido de skalaroj ne bezonas esti difinita), la rezulta pli ĝenerala algebra strukturo estas nomita modulo.
En tiu kazo la "skalaroj" povas esti komplikaj objektoj. Ekzemple, se R estas ringo, la vektoroj de la (produkto, produto) spaco Rn povas esti farita en modulon kun la n×n matricoj kun elementoj de R kiel la skalaroj. Alia ekzemplo venas de dukto-teorio, kie la tangenta pakaĵo formas modulon super la algebro de reelaj funkcioj sur la dukto.
Skalanta transformo
La skalara multipliko de vektoraj spacoj kaj moduloj estas speciala okazo de skalanta speco de lineara transformo.