Unuoj de Planck

En fiziko, unuoj de Planck estas sistemo de naturaj mezurunuoj, kiuj estas mezurunuoj elektitaj tiel ke certaj fundamentaj fizikaj konstantoj egalu al 1. En unuoj de Planck, la konstantaj tiel ununormigitaj estas:

• lumrapideco c (aŭ c₀)
• gravita konstanto G
• malpligrandigita konstanto de Planck ħ
• kulomba forta konstanto $k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$
• konstanto de Boltzmann k_B (aŭ simple k)

Ĉiu el ĉi tiuj konstantoj povas esti asociita kun almenaŭ unu fundamenta fizika teorio: c kun speciala teorio de relativeco, G kun ĝenerala relativeco kaj gravito, ħ kun kvantuma mekaniko, ε₀ kun elektrostatiko, k_B kun statistika mekaniko kaj varmodinamiko. Unuoj de Planck havas profundan signifecon por teoria fiziko pro tio, ke ili elegante plisimpligas kelkajn algebrajn esprimojn de fizikaj leĝoj per sendimensiigo.

La unuoj estas nomitaj laŭ germana fizikisto Max Planck, kiu proponis ilin en 1899.

Bazaj unuoj de Planck

Ĉiuj sistemoj de mezurunuoj havas bazajn unuojn: en la Sistemo Internacia de Unuoj (SI), ekzemple, la baza unuo de longo estas la metro. En la sistemo de unuoj de Planck, la baza unuo de longo nomiĝas la longo de Planck, la baza unuo de tempo nomiĝas la tempo de Planck, kaj tiel plu. Ĉi tiuj unuoj estas derivitaj de la kvin fundamentaj fizikaj konstantoj:

Konstanto	Simbolo	Dimensio L = longo T = tempo M = maso Q = elektra ŝargo Θ = temperaturo	Valoro en SIaj unuoj kun necertecoj
Lumrapideco	c	LT−1	299792458 m s−1
Gravita konstanto	G	L3M−1T −2	6,67428(67) × 10−11 m3 kg−1 s−2
Malpligrandigita konstanto de Planck	$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ kie h estas konstanto de Planck	L2MT−1	1,054571628(53) × 10−34 J s
Kulomba forta konstanto	$k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ kie ε0 estas la elektra konstanto	L3MT−2Q−2	8987551787,3681764 N m2 C−2
Konstanto de Boltzmann	kB	L2MT−2Θ−1	1,3806504(24) × 10−23 J K−1

La valoroj donitaj sen necertecoj estas akurataj pro difinoj de metro kaj la ampero.

Tiel la bazaj unuoj de Planck estas:

Nomo	Dimensio	Formulo	Valoro per SI-aj unuoj kun necerteco	Valoro per la aliaj unuoj
Longo de Planck	Longo L	$l_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	1,616252(81) × 10−35 m
Maso de Planck	Maso M	$m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	2,17644(11) × 10−8 kg	1,220862(61)× 1019 GeV/c2
Tempo de Planck	Tempo T	$t_{P}={\frac {l_{P}}{c}}={\frac {\hbar }{m_{P}c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	5,39124(27) × 10−44 s
Ŝargo de Planck	Elektra ŝargo Q	$q_{P}=m_{P}2\pi {\sqrt {G\varepsilon _{0}}}={\sqrt {\hbar c4\pi \varepsilon _{0}}}$	1,875545866(47) × 10−18 C	11,7062376144(22) e ĉi tiuj valoroj ne estas listigitaj per NIST/CODATA, sed povas esti kalkulitaj, vidu sube pri la necertecoj
Temperaturo de Planck	Temperaturo Θ	$T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}$	1,416785(71) × 1032 K

Derivitaj unuoj de Planck

En ĉiu sistemo de mezuro, unuoj por multaj fizikaj kvantoj povas esti derivita de bazaj unuoj. Jen kelkaj, kiuj fakte estas malofte uzataj. Same kiel kun la bazaj unuoj, ilia uzo estas plejparte limigita al teoria fiziko ĉar la plejparto de ili estas tro grandaj aŭ tro malgrandaj por praktika uzo kaj estas grandaj necertecoj en iliaj valoroj (vidu sube pri la necertecoj).

Derivitaj unuoj de Planck

Nomo	Dimensio	Formulo	Valoro per SI-aj unuoj
Areo de Planck	Areo L2	$l_{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	2,61223·10−70 m2
Volumeno de Planck	Volumeno L3	$l_{P}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}$	4,22419·10−105 m3
Denseco de Planck	Denseco L−3M	$\rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {\hbar t_{P}}{l_{P}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5,15500·1096 kg/m3
Momanto de Planck	Movokvanto LMT−1	$m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,52485 kg m/s
Forto de Planck	Forto LMT−2	$F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {\hbar }{l_{P}t_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1,21027·1044 N
Premo de Planck	Premo LM−1T−2	$p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{P}^{3}t_{P}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4,63309·10113 Pa
Energio de Planck	Energio L2MT−2	$E_{P}=m_{P}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1,9561·109 J
Povumo de Planck	Povumo L2MT−3	$P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3,62831·1052 W
Frekvenco de Planck	Frekvenco T−1	$\omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1,85487·1043 s−1
Elektra tensio de Planck	Elektra tensio L2MT−2Q−1	$V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}$	1,04295·1027 V
Elektra kurento de Planck	Elektra kurento QT−1	$I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}$	3,4789·1025 A
Impedanco de Planck	Elektra rezistanco aŭ Impedanco L2MT−1Q−2	$Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {\hbar }{q_{P}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$ kie Z0 estas la karakteriza impedanco de libera spaco	29,9792458 Ω

Necertecoj de valoroj

Unuoj de Planck estas klare difinitaj per fundamentaj konstantoj. Respektive al la aliaj mezurunuoj (ĉefe tiuj de SI) la valoroj de tiuj unuoj de Planck estas sciataj nur proksimume. La plejparto de necerteco en la valoroj estas pro necerteco de valoro de la gravita konstanto G.

Hodiaŭ la valoro de la lumrapideco c en SI-aj unuoj estas sciata sen necerteco, ĉar la SI-a baza unuo de longo metro, estas difinita tiel ke la lumrapideco c=299792458 m/s akurate. Simile la elektra konstanto ε₀ estas sciata sen necerteco, ĉar la SI-a baza unuo ampero difinita tiel ke la magneta permeablo μ₀ = 4π·10⁻⁷ H/m sen necerteco kaj estas rilato μ₀ε₀ = 1/c².

La malpligrandigita konstanto de Planck ħ estas mezurita eksperimente kun relativa necerteco 5·10⁻⁸.

La gravita konstanto G estas mezurita eksperimente kun multe pli granda relativa necerteco 10⁻⁴ . G aperas en difino de preskaŭ ĉiu el la unuoj de Planck, tiel la necertoj de iliaj valoroj aperas preskaŭ tute de necerteco en la valoro de G. La relativa necerteco de ĉiu el la unuoj de Planck proksimume egalas al relativa necerteco de G multiplikita al absoluta valoro de potenco en kiu G estas en la algebra esprimo por la unuo. Pro tio ke ke absoluta valoro de potenco de G estas 1/2 (G estas en numeratoro aŭ denominatoro sub kvadrata radiko) por ĉiuj bazaj unuoj de Planck escepte de la ŝargo, ili ĉiuj kvar havas relativajn necertecojn egalajn al duono de tiu de G, kio estas 1/20000.

La konstanto de Boltzmann k_B estas mezurita eksperimente kun relativa necerteco 1,7·10⁻⁶, kio estas ne tiel multe kiel relativa necerteco de G, sed pli multe ol relativa necerteco de konstanto de Planck. Tamen la konstanto de Boltzmann aperas nur ĉe relative malmultaj mezurunuoj rilatantaj al temperaturo.

Relativa necerteco de valoro de la ŝargo de Planck en kulomboj egalas al duono de relativa necerteco de konstanto de Planck, kaj relativa necerteco de la ŝargo de Planck en elementaj elektraj ŝargoj egalas al duono de relativa necerteco de la maldiko-struktura konstanto.

Fizikaj ekvacioj en unuoj de Planck

Fizikaj kvantoj kiuj havas malsamajn dimensiojn ne povas esti egaligitaj eĉ se ili estas ciferece egalaj (1 sekundo estas ne la sama kiel 1 metro). Ĉe uzo de unuoj de Planck, per opcio la ciferecaj valoroj de kvin fundamenta konstantoj egalas al 1, ĉi tio sendimensiigas la fizikaj kvantojn, kaj longo de amplekso 1 longo de Planck jam en iu senco egalas al tempo de amplekso 1 tempo de Planck.

La sendimensiigo plisimpligas multajn fundamentajn fizikajn ekvaciojn.

Fizika leĝo	Kutima formo	Sendimensiigita formo kun ĉiuj valoroj mezurataj en unuoj de Planck
Neŭtona leĝo de gravito	$F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$	$F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$
Kulomba leĝo	$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$
Ekvacioj de Maxwell	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$
Maso-energia ekvivalento en speciala teorio de relativeco	E = mc2	E = m
Varmeca energio por partiklo kun unu grado de libereco	E = kB T/2	E = T/2
Principo de Boltzmann por entropio	S = kB ln(W)	S = ln(W)
Rilato de Planck por energio kaj angula frekvenco	E = ħω	E = ω
Ekvacio de Schrödinger	$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)$	$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)$
Hamiltona esprima formo de ekvacio de Schrödinger	$H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar \partial \left|\psi _{t}\right\rangle /\partial t$	$H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\partial \left|\psi _{t}\right\rangle /\partial t$
Ejnŝtejnaj kampaj ekvacioj en ĝenerala relativeco	${G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\$	${G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\$
Kunvarianta formo de la Diraka ekvacio	$\ (\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-imc)\psi =0$	$\ (\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-im)\psi =0$

Sendimensiaj mezurunuoj aldonan postulas zorgon en uzo, ĉar kun kutimaj mezurunuoj dimensioj faras aldonan kontrolado de korekteco de formuloj.

Ligeco al reala vivo

Samaksa kablo kun karakteriza impedanco de du kaj duono impedancoj de Planck

Fizikistoj iam komike nomas la unuojn de Planck kiel "diaj unuoj", ĉar unuoj de Planck estas tute liberaj de ajna homarocentreco. Malsimile al metro, kilogramo kaj sekundo kiuj ekzistas kiel fundamentaj unuoj en la SI-a sistemo pro uzebleco en vivo de la homaro kaj historiaj kaŭzoj, ĉiuj unuojn de Planck estas koncepte ligitaj nur al fundamentaj fizikaj leĝoj.

Iu unuoj de Planck estas taŭgaj por mezuri kvantojn kiuj estas pli-malpli familiaraj de ĉiutaga sperto:

• 1 maso de Planck estas proksimume 2,2·10⁻⁹ kg;
• 1 momanto de Planck estas proksimume 6,5 kg·m/s;
• 1 ŝargo de Planck estas proksimume 11,7 elementaj elektraj ŝargoj;
• 1 impedanco de Planck estas proksimume 30 omoj.

La impedanco de Planck estas sufiĉe forte ligita al la reala vivo, ĉar ĝi estas ligita per malgranda koeficiento kun la karakteriza impedanco de libera spaco, kiu en sia vico estas ligita per malgranda koeficiento kun karakteriza impedanco de praktike uzataj telekomunikaj kabloj. Tiel estas ofte uzataj samaksaj kabloj kun karakterizaj impedancoj 50 Ω ≈ 1,67 Z_P kaj 75 Ω ≈ 2,5 Z_P.

Tamen, plejparto de unuoj de Planck estas je multaj dekumaj ordoj de grandeco pli grandaj aŭ pli malgrandaj ol valoroj kiuj aperas en praktika uzado. En iuj okazoj 1 unuo de Planck estas la plej granda aŭ plej malgranda valoro de fizika kvanto kiu havas fizikan sencon:

• Rapido de Planck estas la lumrapideco en vakuo, la maksimuma ebla rapido en speciala teorio de relativeco.
• Kutime uzata kaj komprenanta kvantuma mekaniko estas aplikebla al la universo ekde komenco epoko de Planck, kiu komenciĝis proksimume post 1 tempo de Planck post la praeksplodo, kiam la universo kreskis ĝis proksimume 1 longo de Planck kaj malvarmiĝis ĝis proksimume 1 temperaturo de Planck. Kompreno de la universo antaŭ ĝia aĝo de 1 tempo de Planck postulas teorion de kvantuma gravito, kiu kunigas kvantumajn efikojn kun ĝenerala relativeco, ĉi tia teorio ankoraŭ ne estas kreita.

La hodiaŭa universo havas jenajn propraĵojn en unuoj de Planck:

Trajto de la hodiaŭa universo	La kvanto en SI-aj unuoj	La kvanto en unuoj de Planck
Aĝo de la universo	4,3·1017 sekundoj	8,0·1060 tP
Diametro de videbla universo	8,7·1026 metroj	5,4·1061 lP
Maso de videbla universo	3·1052 kilogramoj (kalkulante nur steloj) (1080 protonoj (iam sciata kiel la nombro de Eddington))	Proksimume 1060 mP
Temperaturo de kosma mikroonda fona radiado	2,725 K	1,9·10−32 TP

La plurfoja apero de la granda nombro 10⁶⁰ en ĉi tiuj karakterizoj de la hodiaŭa universo estas koincido kiu intrigas iujn teoriistojn. Ĝi estas ekzemplo de iu speco de nombrega koincido kiu gvidis teoriistojn al ellaboro de alternativaj fizikaj teorioj.

Ekspliko pri proksimuma koincido de la aĝo kaj la diametro povas esti tia ke en komenco de epoko de Planck je aĝo de proksimume 1 tempo de Planck la universo havis diametron de proksimume 1 longo de Planck, kaj post ĝi kreskis je proksimume 1 rapido de Planck.

Aliaj eblaj normaligoj

La unuoj de Planck estas derivitaj de normigo al 1 de ciferecaj valoroj de certaj fundamentaj konstantoj. Ĉi tiuj normaligoj estas tamen ne sola ebla varianto. La elekto de tio kiujn faktorojn ununormigi, inter la faktoroj aperantaj en la fundamentaj fizikaj ekvacioj, estas ne evidenta, kaj la valoroj de la unuoj dependas de ĉi tiu elekto.

La faktoro 4π estas en multaj fizikaj leĝoj kiel surfaca areo de unuobla sfero (sfero de radiuso 1), kaj aperas en konsidero de sfere simetriaj okazoj. Ekzemple, gravita kaj elektrostatika kampoj produktitaj per punkta partiklo havas sferan simetrion kaj tiel la fluo de gravita aŭ elektrostatika kampo je distanco 1 de la partiklo estas kalkulata tra areo 4π. Se spaco havus pli multajn dimensioj, la faktoro devus esti alia ol 4π (vidu en sfero).

Kun ĉi tiu faktoro 4π estas ligitaj jenaj eblaj alternativaj normaligoj:

• La elektra konstanto ε₀ = 1 aŭ ekvivalente 4πk_e = 1.

Tiam faktoro 4π malaperus el ekvacioj de Maxwell kaj la unuo de impedanco Z_P egalus al karakteriza impedanco de libera spaco Z₀. Sed tiam faktoro 1/(4π) aperus en kulomba leĝo.

• Kun la gravita konstanto 4πG = 1

En 1899, neŭtona leĝo de gravito estis ankoraŭ konsiderata kiel fundamenta, sed ne kiel oportuna proksimumado vera nur por sufiĉe malgrandaj rapidoj kaj distancoj, ĉar prezentanta la alian vidpunkton ĝenerala relativeco aperis nur en 1915. Pro ĉi tio Planck normigis al 1 la gravitan konstanton G en neŭtona leĝo de gravito. En teorioj aperintaj post 1899, G preskaŭ ĉiam aperas multiplikita per 4π, simile al la elektrostatika leĝo. Laŭ la gaŭsa leĝo por gravito, fluo de gravita kampo tra fermita surfaco estas Φ_g = -4πGm. Pro ĉi tio ebla varianto eblas fari normigon 4πG = 1

Ĉi tio devus elimini la faktoron 4πG aperantan en:

La karakteriza impedanco de gravita radiado en libera spaco, Z₀ = 4πG/c. La c en la denominatoro estas pro antaŭdiro de la ĝenerala relativeco ke gravita radiado propagas je la lumrapideco;

La gravitoelektromagnetaj (GEM) ekvacioj, kiuj estas veraj en malfortaj gravitaj kampoj aŭ loke ebena spaco-tempo. Ĉi tiuj ekvacioj havas la saman formon kiel ekvacioj de Maxwell kaj la lorenca forta ekvacio de elektromagnetismo, kun masa denseco anstataŭ ŝarga denseco, kaj kun 1/4πG anstataŭ ε₀.

Tamen, ĉi tio devus aldoni faktoron 1/(4π) en la leĝo de universala gravito.

• Kun la gravita konstanto 8πG = 1.

La ejnŝtejnaj kampaj ekvacioj, ejnŝtejno-hilberta ago, ekvacioj de Friedmann, ekvacio de Poisson por gravito enhavas faktoron 8πG. Unuoj de Planck modifitaj tiel ke 8πG = 1 estas sciata kiel malpligrandigitaj unuoj de Planck, ĉar la maso de Planck estas tiam dividita per ${\sqrt {8\pi }}$.

• Kun la gravita konstanto 16πG = 1.

Ĉi tiu devus elimini la konstanton c⁴/(16πG) de la ejnŝtejno-Hilberta ago. La ejnŝtejnaj kampaj ekvacioj kun kosmoscienca konstanto Λ estus de formo R_μν - Λg_μν = (Rg_μν - T_μν)/2.

---

Iuj la aliaj eblaj alternativaj normaligoj (ne ligitaj kun 4π) estas:

• La konstanto de Boltzmann k_B = 2.

Ĉi tiu devus la faktoro de 1/2 en la ekvacio de la varmeca energio por partiklo kun unu grado de libereco, sed aldonus faktoron 2 en la entropian formulon de Boltzmann.

Historio

La unua sistemo de naturaj mezurunuoj aperis en 1881 de George Johnstone Stoney, en tiu sistemo unuoj de longo, tempo, kaj maso, nomataj kiel unuoj de Stoney, estis ricevitaj per ununormigo de G, c kaj la elementa elektra ŝargo e. Stoney estis ankaŭ la unua kiu faris hipotezon ke elektra ŝargo estas kvantumita kaj de ĉi tie vidis fundamentan signifon de e. Max Planck unue skribis pri siaj bazaj unuoj escepte de q_P en papero prezentita al la Prusa Sciencakademio en majo de 1899. Ĉi tiu papero ankaŭ inkluzivas la unuan aperon de konstanto de Planck signifitan tie kiel b, kaj poste signifitan kiel h. La papero donis ciferecajn valorojn por la bazaj unuoj de Planck per kutimaj en tiu tempo mezurunuoj, la valoroj estis rimarkinde proksimaj al la nune sciataj. Ne estas certa scio kiel Planck venis al esploro de ĉi tiuj unuoj ĉar lia papero ne donis algebrajn detalojn.

Paul Dirac en 1937, kaj la aliaj post li, faris hipotezojn ke iuj fizikaj parametroj, kutime sciataj kiel fizikaj konstantoj, povas reale ŝanĝiĝi kun tempo.

Vidu ankaŭ

• Dimensia analitiko
• Fizika konstanto
• Naturaj unuoj
• Epoko de Planck
• Skalo de Planck
• Partiklo de Planck
• Longo de Planck
• Tempo de Planck
• Nulo-punkta energio
• Duoble speciala teorio de relativeco

Eksteraj ligiloj

• Michael Duff (2002). “Comment on time-variation of fundamental constants - Komento pri tempa variado de fundamentaj konstantoj”, ArΧiv e-prints. arXiv:hep-th/0208093. 
• Okun, L. B.; Gabriele Veneziano (2002). “Trialogue on the number of fundamental constants - Dialogo pri la kvanto de fundamentaj konstantoj”, Journal of High Energy Physics - Revuo de Alte Energia Fiziko 3, p. 023. doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023. arXiv:physics/0110060. 
• Max Planck . “Über irreversible Strahlungsvorgänge”, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 5, p. 440–480.  paĝoj 478...480 enhavas la unuan aperon de la bazaj unuoj de Planck escepte de la ŝargo de Planck, kaj de konstanto de Planck, skribitan kiel b. a kaj f en ĉi tiu papero estas konstanto de Boltzmann kaj gravita konstanto respektive.
• Valoroj de la fundamentaj konstantoj, inkluzivante la bazajn unuojn de Planck, de NIST
• Sekcioj C-E de kolekto de rimedoj urso sur unuoj de Planck. Diskuto de tio kial 8πG devus esti ununormigita al 1 por ĝenerala relativeco kaj kvantuma gravito, ligiloj.
• Fiziko Hodiaŭ de junio de 2001 pri hodiaŭa universo kaj unuoj de Planck
• Tomilin, K. A., 1999, "Naturaj Sistemoj de Unuoj: Al la centjara datreveno de la sistemo de Planck Arkivigite je 2008-03-09 per la retarkivo Wayback Machine" 287-96.