Formulo de Heron

El Vikipedio

Saltu al: navigado, serĉo

Triangulo kun lateroj a, b, c.

En geometrio, formulo de Heron estas formulo kiu ligas areon A de triangulo kun longoj de ĝiaj lateroj a, b, c:

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

kie s estas la duonperimetro de la triangulo:

$s=\frac{a+b+c}{2}.$

La formulo povas esti skribita ankaŭ kiel:

$A={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

$A={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}\ \over 4}$

$A={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}.$

[redaktu] Historio

La formulo estas skribita de al Heron de Aleksandrio, kaj pruvo troviĝas en lia libro, Metrica, skribita en proksimume 60. Eestas sugesto ke Arkimedo sciis la formulon. Formula ekvivalento al Ardea nome:

$A=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}$

estis esplorita en la ĉinio sendepende de la grekoj. Ĝi estis publikigita en Shushu Jiuzhang (Matematika traktato en naŭ sekcioj), skribita de Qin Jiushao kaj publikigita en 1247.

[redaktu] Pruvo

Jen estas Moderna pruvo, kiu uzas algebron kaj trigonometrion kaj estas sufiĉe malsimila al tiu provizita Heron. Estu a, b, c longoj de la lateroj de la triangulo kaj A, B, C la anguloj kontraŭaj al tiuj lateroj. Tiam

$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

laŭ la leĝo de kosinusoj. De ĉi tie:

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

La alto de la triangulo al bazo a havas longon b sin(C), kaj de ĉi tio

$A\,$	$= \frac{1}{2} ab\sin(C)$
	$= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$
	$= \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))}$
	$= \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)}$
	$= \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))((c +(a -b))((a +b) -c))((a +b) +c)}$
	$= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$

La faktorigo de diferenco de du kvadratoj estis uzita dufoje.

[redaktu] Cifereca stabileco

Formulo de Heron en sia klasika formo, donita pli supre, estas ciferece malstabila por trianguloj kun tre malgranda angulo. Ekzistas la stabila alternativo ^[1]. Antaŭ uzo de ĝi necesas ordigi la longoj de la lateroj tiel ke a≥b≥c. Tiam

$A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.$

La krampoj en ĉi tiu formulo priskribas la ordon de la kalkulado kaj estas nepraj por malebligi ciferecan malstabilacon.

[redaktu] Ĝeneraligoj

Formulo de Heron estas speciala okazo de formulo de Brahmagupta por areo de cikla kvarlatero; ambaŭ ili estas specialaj okazoj de formulo de Bretschneider por la areo de kvarlatero. En ambaŭ okazoj formulo de Heron estas ricevata per preno de longo de unu el la lateroj egala al nulo.

Formulo de Heron estas speciala okazo ankaŭ de formulo de areo de trapezo laŭ longoj de lateroj kaj estas ricevata per preno de longo de la pli malgranda paralela latero egala al nulo.

Formulo de Heron povas esti skribita kiel determinanto:

$A = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }$