Konjekto (matematiko)
En matematiko, konjekto estas matematika frazo kiu ŝajnas al esti vera, sed ne estas formale pruvita al esti vera sub la reguloj de matematika logiko. Iam konjekto estas formale pruvita kaj tiam ĝi estas altigita al la statuso de teoremo kaj povas esti uzita poste sen risko en la konstruado de aliaj formalaj matematikaj pruvoj. Ĝis tiu tempo, matematikistoj povas uzi la konjekton en portempa bazo, sed tiam ĉiu rezultanta laboro estas mem portempa ĝis kiam la konjekto estas pruvita.
En scienca filozofio, Karl Popper proponis uzon de la termino "konjekto" al indiki ke la frazo estas supozata al esti vera, sed plejparte surbaze de nekonkludigaj aĵoj, en kontrasto kun hipotezo (de ĉi tie teorio, aksiomo, principo), kiu estas frazo provebla surbaze de akceptitaj scioj.
Famaj konjektoj
Ĝis antaŭnelonge, la plej fama konjekto estis la misnomita lasta teoremo de Fermat, misnomita ĉar kvankam Pierre de Fermat pretendis al havi lertan pruvon de ĝi, sed neniu povis trovi ĝin inter lia skribaĵoj post lia morto. La konjekto mokis matematikistojn dum pli ol tri jarcentoj antaŭ ol esris pruvita en 1994 kaj nun ĝi vere nomiĝas kiel teoremo.
Aliaj famaj konjektoj estas:
- abc konjekto
- P ≠ NP
- Konjekto de Poincaré (pruvita de Grigorij Perelman)
- Rimana hipotezo
- Konjekto de neekzisto de neparaj perfektaj nombroj
Estas multaj konjektoj pri primoj, inter ili - pri ekzisto de malfinia kvanto de primoj de specifa speco, inter ili primoj de Sophie Germain, primoj de Wilson (kvankam estas sciataj nur 3 ĉi tiuj primoj), ĝemelaj primoj (ĝemela prima konjekto).
Kontraŭekzemploj
Malsimile al la empiriaj sciencoj, formala matematiko estas bazita sur demonstrebla vero. Oni ne povas simple provi grandegan kvanton de okazoj kaj se kontraŭekzemploj ne troviĝis do konkludi ke, tiel la frazo devas esti vera. Ĉi tio estas ĉar kutime estas malfinie multaj eblaj okazoj; tiel ajna kvanto de jam kontrolitaj sukcesaj okazoj ĉiam restigas eblecon de ekzisto de ankoraŭ unu okazo, kiu estas malsukcesa kaj kiu tiam estas kontraŭekzemplo, kiu tuj kondukas al malvereco de la konjekto.
La konjekto al kiu estas trovita kontraŭekzemplo estas iam nomata kiel malvera konjekto (ekzemple konjekto de Pólya pri funkcio de Liouville).
Matematikaj ĵurnaloj iam publikigas rezultojn de esploristoj kiuj daŭrigas provadon de okazoj de iu konjekto. Ekzemple, ĉe la rimana hipotezo, pluaj kaj pluaj kompleksaj nuloj de la rimana ζ funkcio estas kontrolataj al kuŝi sur la linio Re z=1/2, sed ĉi tio ne estas ĝenerala pruvo ke ili ĉiuj estas sur ĉi tiu linio. En praktiko ege malofte ĉi tiu speco de laboro liveras kontraŭekzemplon kaj ĉi tiaj penoj estas ĝenerale estimata kiel nura elmontro de komputika kapablo, anstataŭ ol kiel signfaj kotizoj al formala matematiko. Ekzemple pri la primo-kalkulanta funkcio π(n) povus esti (jam malpruvita) konjekto ke por ĉiu n, π(n)≤li(n) kie li(n) estas la integrala logaritmo; ĝi veras por malgrandaj nombroj kaj la unua kontraŭekzemplo estas proksimume je n≈1,397·10316 kaj traserĉi rekte ĉiujn entjerojn ĝis ĉi tiu tute ne realas; vidu pli detale en nombro de Skewes.
Uzo de konjektoj en kondiĉaj pruvoj
Iam konjekto estas nomata kiel hipotezo kiam ĝi estas uzata ofte kaj multfoje kiel supozoj en pruvoj de aliaj rezultoj. Ekzemple, la rimana hipotezo estas konjekto de nombroteorio kiu inter alie faras antaŭdirojn pri distribuo de primoj. Kelkaj teoriistoj dubas ke la rimana hipotezo estas vera. En anticipo al ĝia eventuala pruvo, iuj ellaboras pluajn pruvojn kiuj estas bazitaj sur vereco de ĉi tiu konjekto. Ĉi tiuj estas nomataj kiel kondiĉaj pruvoj, la konjektoj alprenitaj aperas en la hipotezoj de la teoremo, provizore.
Ĉi tiuj pruvoj, tamen, devas fali se okazos ke la hipotezo estas malvera, tiel estas konsiderebla intereso en kontrolado de vereco de konjektoj de ĉi tiu speco.
Nedecideblaj konjektoj
Ne ĉiu konjekto finiĝas per pruvo ke ĝi estas vera aŭ malvera. La kontinuaĵa hipotezo, kiu provas konstati la relativajn kardinalojn de certaj malfiniaj aroj, estis montrita al esti nedecidebla (aŭ sendependa) de la ĝenerale akceptitaj aksiomoj de aroteorio (aksiomoj de Zermelo-Fraenkel). Pro tio eblas preni aŭ ĉi tiu frazo, aŭ ĝian neon, kiel nova aksiomo en konsekvenca maniero, kaj tiel fakte studi du malsamajn matematikajn objektojn aŭ sistemojn. Simila fama aĵo estas la 5-a postulato de eŭklida geometrio, se preni ĝian malverecon la alia, sed ne ene kontraŭdira, geometrio eblas, ekzemple geometrio sur la hiperbola ebeno.
En ĉi tiu okazo, se pruvo de iu teoremo uzas ĉi tiun nedecideblan frazon, esploristoj estos ofte serĉas novan pruvon kiu ne postulas la hipotezon (simile al tio ke estas dezirinde ke frazoj en eŭklida geometrio estas pruvita uzante nur la aksiomoj de neŭtrala geometrio, sen la 5-a postulato), ĉar tiam povas esti trovita aplikebleco de la teoremo al ambaŭ sistemoj - tiu kun la nedecidebla frazo kaj tiu kun ĝia neo. Unu grava escepto al ĉi tiu en praktiko estas la aksiomo de elekto, se ĉi tiu aksiomo ne estas studata aparte, plejparto de esploristoj kutime ne zorgas ĉu rezulto postulas la aksiomon.