Ordinara diferenciala ekvacio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, ordinara diferenciala ekvacio (mallonge ODE) estas rilato, kiu enhavas funkciojn de nur unu nedependa variablo, kaj unu aŭ kelkajn el ĝiaj derivaĵoj kun respekto al la variablo.

Simpla ekzemplo estas neŭtona dua leĝo de moviĝo, kiu povas esti skribita kiel la diferenciala ekvacio

m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t), t)

por la moviĝo de partiklo de konstanta maso m. Ĝenerale, la forto F dependas de la pozicio de la partiklo x(t) je tempo t kaj de la tempo t senpere, kaj tial la nekonata funkcio x(t) aperas en ambaŭ flankoj de la diferenciala ekvacio, kiel estas indikite en la skribmaniero F(x(t), t).

Ordinaraj diferencialaj ekvacioj malsamas de diferencialaj ekvacioj en partaj derivaĵoj en tio, ke la lastaj enhavas plurajn sendependajn variablojn kaj partajn derivaĵojn je la kelkaj sendependaj variabloj.

Se la ekvacio estas lineara, ĝi povas esti solvita per analitikaj manieroj. Tamen multaj interesaj diferencialaj ekvacioj estas ne-linearaj kaj, kun kelkaj esceptoj, ili ne povas esti solvitaj akurate. Proksimumaj solvaĵoj estas ricevataj per komputilaj manieroj de solvado (vidu en cifereca solvado de diferencialaj ekvacioj).

Ordinaraj diferencialaj ekvacioj aperas en multaj malsamaj ĉirkaŭtekstoj en geometrio, fiziko, astronomio ktp.

Difinoj[redakti | redakti fonton]

Ordinara diferenciala ekvacio[redakti | redakti fonton]

Estu y(x) nekonata funkcio

y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

kie y(n) estas la n-a derivaĵo de y je x. Tiam ekvacio de formo

F(x, y, y', y'', ..., y(n-1), y(n)) = 0

estas nomata kiel ordinara diferenciala ekvacio (ODE) de ordo n. Por vektoraj valoraj funkcioj,

y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m

estas nomata kiel sistemo de ordinaraj diferencialaj ekvacioj de dimensio m.

Se diferenciala ekvacio de ordo n havas formon

F(x, y, y', y'', ..., y(n-1), y(n)) = 0

ĝi estas nomata kiel implica diferenciala ekvacio. La formo

F(x, y, y', y'', ..., y(n-1)) = y(n)

estas nomata kiel eksplicita diferenciala ekvacio.

Diferenciala ekvacio ne dependanta sur x estas nomata kiel aŭtonoma.

Diferenciala ekvacio estas lineara se F povas esti skribita kiel lineara kombinaĵo de la derivaĵoj de y

y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)

kie ai(x) kaj r(x) estas kontinuaj funkcioj de x. La funkcio r(x) estas nomata kiel la fonta flanko; se r(x)=0 tiam la lineara diferenciala ekvacio estas nomata kiel homogena, alie ĝi estas nomata kiel nehomogena (estas ankaŭ la alia signifo por la vorto "homogena", vidu sube).

Solvaĵoj[redakti | redakti fonton]

Iuj solvaĵoj al (y')^2+xy'-y=0. Apartaj solvaĵoj estas bluaj; la singulara solvaĵo estas verda; la hibrida solvaĵo estas ruĝa.
F(x, y, y', y'', ..., y(n-1), y(n)) = 0
F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0

funkcio u: I ⊂ RR estas nomata kiel la solvaĵointegrala kurbo por F, se u estas n-foje diferencialebla sur I, kaj

F(x, u, u',\ \dots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I

Por donitaj du solvaĵoj u: J ⊂ RR kaj v: I ⊂ RR , u estas nomata kiel vastigaĵo de v se I ⊂ J kaj

u(x) = v(x) \quad x \in I

Solvaĵo kiu ne havas vastigaĵon estas nomata kiel malloka solvaĵo.

Ĝenerala solvaĵo de ekvacio de ordo n estas solvaĵo enhavanta n aldonajn variablojn respektivajn al n konstantoj de integralado. Aparta solvaĵo estas rezultanta de la ĝenerala solvaĵo per meto al la konstantoj de apartaj valoroj, ofte elektita por konveni al komencaj kondiĉojrandaj kondiĉoj. Singulara solvaĵo estas solvaĵo kiu ne povas esti ricevita de la ĝenerala solvaĵo.

Malpligrandiĝo al sistemo de unua ordo[redakti | redakti fonton]

Ĉiu diferenciala ekvacio de ordo n povas esti skribita kiel sistemo de n diferencialaj ekvacioj de ordo 1.

Estu donita ordinara diferenciala ekvacio de ordo n kaj dimensio 1:

F(x, y, y', y'', ..., y(n-1), y(n)) = 0

Oni difinu novan familion de nekonataj funkcioj

yk = y(k-1)

kie k = 1 ... n

Tiam y1 = y restas la fonta nekonata funkcio kaj oni povas tiam reverki la originalan diferencialan ekvacion kiel sistemo de diferencialaj ekvacioj de ordo 1 kaj dimensio n:

y1' = y2
y2' = y3
...
yn-1' = yn
F(x, y1, y2, y3, ..., yn, yn') = 0

Integralado[redakti | redakti fonton]

Eble la plej simpla diferenciala ekvacio estas de formo y' = a(x).

Ĝia solvaĵo estas

y(x) = \int a(x)\,dx \!

Por trovi ĝin necesas plenumi integraladon de la funkcio a(x). Post ĉi tio, uzo de la vorto "integralado" estas ĝeneraligita al serĉado de solvaĵoj de ajna diferenciala ekvacio.

Linearaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Lineara diferenciala ekvacio.

Bone komprenita aparta klaso de diferencialaj ekvacioj estas linearaj diferencialaj ekvacioj. Oni povas ĉiam malpligrandigi eksplicitan linearan diferencialan ekvacion de ĉiu ordo al sistemo de linearaj diferencialaj ekvacioj de ordo 1 de formo

y_i'(x) = \sum_{j=1}^n a_{i,j}(x) y_j + b_i(x) \, \mathrm{,} \quad i = 1,\ldots,n

kiun oni povas skribi lakone per matrica kaj vektora skribmaniero kiel

\mathbf{y}^'(x) = \mathbf{A}(x) \mathbf{y}(x) + \mathbf{b}(x)

kie \mathbf{y}(x) = (y_1(x),\ldots,y_n(x))

\mathbf{b}(x):=(b_1(x),\ldots,b_n(x))
\mathbf{A}(x):=(a_{i,j}(x)) \, \mathrm{,} \quad i,j = 1,\ldots, n

Homogenaj ekvacioj[redakti | redakti fonton]

La aro de solvaĵoj por sistemo de homogenaj linearaj diferencialaj ekvacioj de ordo 1 kaj dimensio n

\mathbf{y}^'(x) = \mathbf{A}(x) \mathbf{y}(x)

formas n-dimensia vektoran spacon. Por donita bazo por ĉi tiu vektora spaco \mathbf{z}_1(x), \ldots, \mathbf{z}_n(x), kiu estas nomata kiel fundamenta sistemo, ĉiu solvaĵo \mathbf{s}(x) povas esti skribita kiel

\mathbf{s}(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i \mathbf{z}_i(x).

La n×n matrico

\mathbf{Z}(x) = (\mathbf{z}_1(x), \ldots, \mathbf{z}_n(x))

estas nomata kiel fundamenta matrico. Ĝenerale estas ne maniero eksplicite konstrui fundamentan sistemon, sed se unu solvaĵo estas sciata do malpligrandiĝo de d'Alembert povas esti uzata por malpligrandigi la dimension de la diferenciala ekvacio per unu.

Nehomogenaj ekvacioj[redakti | redakti fonton]

La aro de solvaĵoj por sistemo de nehomogenaj linearaj diferencialaj ekvacioj de ordo 1 kaj dimensio n

\mathbf{y}^'(x) = \mathbf{A}(x) \mathbf{y}(x) + \mathbf{b}(x)

povas esti konstruita per trovado de la fundamenta sistemo \mathbf{z}_1(x), \ldots, \mathbf{z}_n(x) al la respektiva homogena ekvacio kaj unu aparta solvaĵo p(x) de la nehomogena ekvacio. Ĉiu solvaĵo s(x) de nehomogena ekvacio povas tiam esti skribita kiel

\mathbf{s}(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i \mathbf{z}_i(x) + \mathbf{p}(x)

Aparta solvaĵo de la nehomogena ekvacio povas esti trovita per la maniero de integrala multiplikato, maniero de nedifinitaj koeficientoj aŭ la maniero de variado de parametroj.

Maniero de integrala multiplikato[redakti | redakti fonton]

Estu diferenciala ekvacio y' + a(x)y = b(x).

Estu la funkcio μ(x), nomata kiel integrala multiplikato:

\mu(x) = e ^ {\int\! a(x)\,dx}

Multiplikate ambaŭ flankojn de la fonta ekvacio je μ(x) rezultas

y'e ^ {\int\!a(x)\,dx} + ya(x) e ^ {\int\! a(x)\,dx} = b(x) \mu (x)

La maldekstra parto estas derivaĵo de μ(x)y(x) je x. Tiel

(μ(x) y(x))' = b(x)μ(x)

Integralante rezultas

y(x) \mu(x) = \int\!b(x) \mu (x)\,dx + C

Tiel solvaĵo de la fonta ekvacio estas

y(x) = e ^ {- \int\! a(x)\,dx}\left(\int\! b(x) \mu (x)\,dx + C\right)

Maniero de variado de parametroj[redakti | redakti fonton]

Estu diferenciala ekvacio y' + a(x)y = b(x).

Kosideru la analogan homogenan ekvacion y' + a(x)y = 0. Ĉe ĝi la variabloj povas esti disdividitaj kaj ĝia solvaĵo estas

y(x) = ce ^ {-\int\!a(x)\,dx}\!

Solvaĵojn de la fonta ekvacio oni serĉu de formo

y(x) = c(x)e ^ {-\int\!a(x)\,dx}\!

Metanti ĉi tion en la fontan ekvacion

c' = b(x) e ^ {\int\!a(x)\,dx}\!
c(x) = c_1 + \int\!b(x) e ^ {\int\!a(x)\,dx}\,dx\!

kie c1 estas ajna konstanto.

Tiel solvaĵo de la fonta ekvacio estas

y(x) = e ^ {-\int\! a(x)\,dx}\left(c_1 + \int\! b(x)e ^ {\int\! a(x)\,dx}\,dx\right)

Fundamentaj sistemoj por homogenaj ekvacioj kun konstantaj koeficientoj[redakti | redakti fonton]

Se sistemo de homogenaj linearaj diferencialaj ekvacioj havas konstantajn koeficientojn

\mathbf{y}'(x) = \mathbf{A} \mathbf{y}(x)

tiam oni povas eksplicite konstrui fundamentan sistemon. La fundamenta sistemo povas esti skribita kiel matrica diferenciala ekvacio

\mathbf{Y}' = \mathbf{A} \mathbf{Y}

kun solvaĵo kiel matrica eksponenta funkcio

e^{x \mathbf{A}}

kiu estas fundamenta matrico por la originala diferenciala ekvacio. Por eksplicite kalkuli ĉi tiun esprimon oni unue konvertu matricon A en jordanan normalan formon

e^{x \mathbf{A}} = e^{x \mathbf{C}^{-1} \mathbf{J} \mathbf{C}^{1}} = \mathbf{C}^{-1} e^{x \mathbf{J}} \mathbf{C}^{1}

kaj tiam komputi la blokojn

J_i =
\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & \; & \; \\
\; & \ddots & \ddots & \; \\
\; & \; & \ddots & 1 \\
\; & \; & \; & \lambda_i
\end{bmatrix}

de J aparte kiel

e^{x \mathbf{J_i}} = e^{\lambda_i x}
\begin{bmatrix}
1 & x & \frac{x^2}{2} & \dots & \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \\
\; & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\; & \; & \ddots & \ddots & \frac{x^2}{2} \\
\; & \; & \; & \ddots & x \\
\; & \; & \; & \; & 1
\end{bmatrix}

Specialaj specoj de diferencialaj ekvacioj[redakti | redakti fonton]

  • Homogena ekvacio, kvazaŭhomogenaj ekvacio (vidu sube)

Homogenaj ekvacioj[redakti | redakti fonton]

Diferenciala ekvacio y' = f(x, y) estas homogena se f(x, y) estas homogena funkcio du nula eksponento. Funkcio f(x, y) estas homogena funkcio du eksponento k se por ĉiu λ>0, f(λx, λy) = λk f(x, y).

Noto ke la vorto "homogena" ĉi tie estas uzata je la aliaj senco ol ĉe linearaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj.

Anstataŭo y(x) = xz(x) se x>0 donas:

f(x, xz) = x0 f(1, z) = f(1, z)
y' = xz' + z

Metante ĉi tion en la fontan ekvacion rezultas

z' = \frac{1}{x} (f(1, z) - z)\!

kio estas ekvacio kun apartigeblaj variabloj.

Kvazaŭhomogenaj ekvacioj[redakti | redakti fonton]

Diferenciala ekvacio y' = f(x, y) estas homogena se f(x, y) estas homogena funkcio du nula eksponento. Funkcio f(x, y) estas homogena funkcio du eksponento k se por ĉiu λ>0, f(λx, λy) = λk f(x, y).

Diferenciala ekvacio y' = f(x, y) estas kvazaŭhomogena se por ĉiu λ>0

f(λαx, λβy) = λβ-α f(x, y)

La ekvacio estas solvebla per anstataŭo y = z ^ {\frac{\beta}{\alpha}}:

z' = \frac{\alpha}{\beta} \left(z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\right) ^ {\beta - \alpha} f\left(x, z ^ \frac{\beta}{\alpha}\right)

Estu \lambda = z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\!, tiam rezultas

\left(z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\right) ^ {\beta - \alpha} f \left(x, z ^ \frac{\beta}{\alpha}\right) = f\left(\frac{x}{z}, 1\right)
z' = \frac{\alpha}{\beta} f\left(\frac{x}{z}, 1\right)

kio estas homogena ekvacio.

Diferencialaj ekvacioj de Bernoulli[redakti | redakti fonton]

Diferenciala ekvacio de Bernoulli estas ekvacio de formo y'+a(x)y = b(x)yn kie n≠1 kaj n≠0. Se n=1n=0 la ekvacio estas lineara.

Ĝi povas esti solvita per du manieroj:

  • Unua maniero

Estu anstataŭo z = y ^ {1-n}\!.

Tiam la ekvacio estas lineara

\frac{1}{1-n} z' + a(x) z = b(x)
  • Dua maniero

Estu anstataŭo y = uv.

Tiam

u'v + u(v' + a(x) v) = b(x) (uv)^n

Estu v(x) \not\equiv 0 solvaĵo de diferenciala ekvacio kun apartigeblaj variabloj

v' + a(x)v = 0

Tiam por kalkuli u rezultas ekvacio

\frac{u'}{u^n} = b(x)v^{n-1}

kio estas ekvacio kun apartigeblaj variabloj.

Teorioj de ODE[redakti | redakti fonton]

Singularaj solvaĵoj[redakti | redakti fonton]

La teorio de singularaj solvaĵoj de ordinaraj kaj partaj diferencialaj ekvacioj estis subjekto de esploro de la tempo de Leibniz, sed nur ekde mezo de la 19-a jarcento ĝi ricevis specialan atenton. Interesa sed malgrande sciata laboro sur la subjekto estis de Houtain (1854). Darboŭ (startante en 1873) okupiĝis pri la teorio, kaj en la geometria interpretado de ĉi tiuj solvaĵoj li malfermis kampon kiu estis prilaborita per diversaj verkistoj, rimarkinde Felice Casorati kaj Cayley.

Malpligrandiĝo al kvadraturoj[redakti | redakti fonton]

La primitiva provo en konsidero de diferencialaj ekvacioj estas malpligrandiĝo al kvadraturoj. Simile al tio kiel estis la espero de algebristoj de la 18-a jarcento trovi manieron por solvado la ĝenerala polinoma ekvacio de n-a ordo, estis la espero de analizistoj trovi ĝeneralan manieron por integralado de ĉiuj diferencialaj ekvacioj.

Teorio de Sturm-Liouville[redakti | redakti fonton]

Teorio de Sturm-Liouville estas ĝenerala maniero por solvado de dua-ordaj linearaj ekvacioj kun variantaj koeficientoj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]