Rotacia simetrio

En fiziko kaj matematiko, turna simetrio de objekto estas simetrio kiu estas invarianteco de la objekto je iu turno.

Estadas kontinua turna simetrio kaj diskreta turna simetrio.

Turna simetrio de objekto signifas ke iu certa turno ne ŝanĝas la objekton. Por donita objekto, aro de la turnoj kiuj ĝin ne ŝanĝas estas la geometria simetria grupo de la objekto, aŭ, se la objekto havas ankaŭ la aliajn simetrion, subgrupo de la geometria simetria grupo.

Leĝoj de fiziko estas turna invarianto (So(3)-invarianto) se ili ne distingas malsamajn direktojn en spaco. Laŭ teoremo de Noether, mova simetrio de fizika sistemo estas ekvivalento al la angula movokvanta konservada leĝo.

Geometrio

Formale, turna simetrio estas simetrio kun respektivo al iu aŭ ĉiuj rotacioj en m-dimensia eŭklida spaco. Turnadoj estas direktaj izometrioj, do ili estas izometrioj konservantaj orientiĝon. Pro ĉi tio geometria simetria grupo de turna simetrio estas subgrupo de E⁺(m) (vidu en eŭklida grupo).

Simetrio kun respekto al ĉiuj turnadoj ĉirkaŭ ĉiu vertico enhavas movan simetrion kun respektivo al ĉiuj movoj, kaj la geometria simetria grupo do estas la tuta E⁺(m). Ĉi tio signifas ke la objektoj homogene okupas la tutan spacon, ĉi tio estas la okazo por fizikaj leĝoj.

Por simetrio kun respektivo al turnadoj ĉirkaŭ iu punkto oni povas preni la punkton kiel fonto (nulo) de la koordinatosistemo. Ĉij turnadoj ĉirkaŭ fonto de koordinatoj formas la specialan perpendikularan grupon So(m) de perpendikularaj matricoj kun amplekso de ĉiu matrico m×m kaj kun determinanto de ĉiu matrico 1. Por m=3 ĉi tio estas la turnada grupo.

En la alia signifo de la vorto, la turnada grupo de objekto estas la geometria simetria grupo en E⁺(n), la eŭklida grupo (grupo de direktaj izometrioj); en aliaj vortoj, la komunaĵo de la plena geometria simetria grupo de la objekto kaj la grupo de direktaj izometrioj. Por nememspegulsimetriaj objektoj ĝi estas la sama kiel la plena geometria simetria grupo.

n-obla turna simetrio

Turna simetrio de ordo n, aŭ n-obla turna simetrio, aŭ diskreta turna simetrio de ordo n, ĉirkaŭ certa punkto en 2 dimensioj, akso en 3 dimensioj, m-2 dimensia hiperebeno en m dimensioj signifas ke turnado per angulo de 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60° por n=2...6) ne ŝanĝas la figuron. "1-obla" simetrio estas ne simetrio.

La kristala sistema skribmaniero por n-obla simetrio estas C_n aŭ simple "n". La reala geometria simetria grupo estas precizigita per la punkto aŭ simetriakso, kaj ankaŭ la nombro n. Por ĉiu punkto aŭ simetriakso speco de la abstrakta grupa estas cikla grupo Z_n de ordo n. Kvankam por la lasta ankaŭ la skribmaniero C_n estas uzita, la geometria kaj la abstrakta C_n devas esti distingitaj ĉar estas la aliaj geometriaj simetriaj grupoj kun la sama speco de abstrakta grupa, vidu en punktaj grupoj en tri dimensioj.

La fundamenta domajno estas sektoro de 360°/n, se ne estas aldonaj simetrioj.

Se estas turna simetrio kun respektivo al angulo β do estas ankaŭ turna simetrio kun respektivo al angulo kiu estas la plej granda komuna divizoro de β kaj 360°. Se ĉi tiu plej granda komuna divizoro ne ekzistas do la turna simetrio estas kontinua (malfinio-obla).

Ekzemple, se estas turna simetrio kun respektivo al angulo 100°, tiam ĝi estas ankaŭ kun respektivo al angulo 20°, kiu estas la plej granda komuna divizoro de 100° kaj 360°.

Multaj simetriaj aksoj tra la sama punkto

Por diskreta simetrio kun multaj simetriaj aksoj tra la sama punkto, estas jenaj eblecoj:

Aldone al n-obla akso, n perpendikularo 2-oblaj aksoj: la duedraj grupoj D_n de ordo 2n (n≥2). Ĉi tiu estas la turna grupo de regula prismo, aŭ regula dupiramido. Kvankam la sama skribmaniero estas uzata, la geometria kaj abstrakta D_n devas esti distingitaj ĉar estas la aliaj geometriaj simetriaj grupoj kun la sama speco de abstrakta grupa, vidu en punktaj grupoj en tri dimensioj.
4 3-oblaj kaj 3 2-oblaj aksoj: la turna grupo T de ordo 12 de regula kvaredro (kvaredra simetrio). La grupo estas izomorfia al alterna grupo A₄.
3 4-oblaj, 4 3-obla, 6 2-oblaj aksoj: la turna grupo O de ordo 24 de kubo kaj regula okedro (okedra simetrio). La grupo estas izomorfia al simetria grupo S₄.
6 5-oblaj, 10 3-oblaj, 15 2-oblaj aksoj: la turna grupo I de ordo 60 de dekduedro kaj dudekedro (dekduedra simetrio). La grupo estas izomorfia al alterna grupo A₅. La grupo enhavas 10 versiojn de D₃ kaj 6 versiojn de D₅ (turnaj simetrioj similaj al tiuj de prismoj kaj kontraŭprismoj (prisma simetrio)).

Ĉe la platonaj solidoj, la 2-oblaj aksoj estas tra la mezpunktoj de kontraŭaj lateroj, la kvanto de ili estas duono kvanto de la lateroj. La aliaj aksoj estas tra kontraŭaj verticoj kaj tra centroj de kontraŭaj edroj, kun escepto ĉe la kvaredro, kie la 3-oblaj aksoj estas ĉiu tra vertico kaj la centro de la kontraŭa edro.

Turna simetrio kun respektivo al ĉiu angulo

Turna simetrio kun respektivo al ĉiu angulo estas kontinua turna simetrio aŭ malfinio-obla turna simetrio.

En 2 dimensioj turna simetrio kun respekto al ĉiu angulo estas cikla simetrio. La fundamenta domajno estas duonrekto.

En 3 dimensioj estadas cilindra simetrio kaj sfera simetrio.

Cilindra simetrio estas nedependeco de la figuro de la angula koordinato el cilindraj koordinatoj. La fundamenta domajno estas duonebeno tra la akso.

Sfera simetrio estas nedependeco de la figuro de ambaŭ angulaj koordinatoj el sferaj koordinatoj. La fundamenta domajno estas la radiusa duonrekto.

En 4 dimensioj, kontinua aŭ diskreta turna simetrio ĉirkaŭ ebeno respektivas al respektiva 2D turna simetrio en ĉiu perpendikulara ebeno, ĉirkaŭ la punkto de komunaĵo de la du ebenoj. Figuro povas ankaŭ havi turna simetrio ĉirkaŭ du perpendikularaj ebenoj, do ĝi povas esti la cilindro (kartezia produto) de du turne simetriaj 2D figuroj. El ĉi tiuj du figuroj, neunu, nur unu aŭ ambaŭ povas havi kontinuajn turnajn simetriojn, kaj la restantaj havi diskretajn turnajn simetriojn. La ekzemploj estas ducilindro kaj diversaj regula duprismoj.

En 4 dimensioj povas esti ankaŭ sfera simetrio ĉirkaŭ rekto kaj 3-sfera simetrio ĉirkaŭ punkto.

Turna simetrio kun mova simetrio

2-obla turna simetrio kaj ankaŭ sola mova simetrio estas unu el la frisaj grupoj. Estas du turnaj centroj por primitiva ĉelo.

Turna simetrio kaj ankaŭ duopa mova simetrio estas jenaj papertapetaj grupoj, kun aksoj por primitiva ĉelo:

p2 (2222): 4 2-oblaj; turna grupo de paralelograma, ortangula, kaj romba kradoj.
p3 (333): 3 3-obla; turna grupo regula triangula kahelaro kun la egallateraj trianguloj alterne kolorigitaj.
p4 (442): 2 4-oblaj, 2 2-oblaj; turna grupo de kvadrata krado.
p6 (632): 1 6-oblaj, 2 3-oblaj, 3 2-oblaj turna grupo de seslatera krado.

2-oblaj turnaj centroj (inkluzivante la 4-oblajn kaj 6-oblajn), se ili ekzistas, formas kradon egalan al la mova krado skalita per faktoro 1/2. En la okazo de mova simetrio en unu dimensio la propraĵo veras kvankam la termino "krado" ne estas uzata.
3-oblaj turnaj centroj (inkluzivante la 6-oblajn), se ili ekzistas, formas seslateran kradon egalan al la mova krado skalitan per faktoro 1/√3 kaj turnitan je 30° (aŭ ekvivalente je 90°).
4-oblaj turnaj centroj, se ili ekzistas, formas kvadratan kradon egalan al la mova krado skalitan per faktoro 1/√2 kaj turnitan je 45°.
6-oblaj turnaj centroj, se ili ekzistas, formas seslateran kradon egalan al la mova krado.

3-obla turna simetrio je unu punkto kaj 2-obla je la alia (aŭ en 3D kun respektivo diversa paralelaj aksoj) implicas turnan grupon p6, kio estas duopa mova simetrio kaj 6-obla turna simetrio je iu punkto (aŭ, en 3D, paralela akso). La mova distanco por la simetrio generita per ĉi tia paro de turnaj centroj estas 2√3 fojoj distanco inter ili.

Ekzemploj

Vidu ankaŭ