Rikuro

Rikuro en arto. Produkto de la kompanio Drosta, kun desegno de virino tenanta pleton, kaj la produkto, kun la pentraĵo de la virino tenanta pleton, ktp.

Triangulo de Sierpinski - Rikuro de trianguloj, kiuj kreas frakton

Rekursio kreita helpe de ekrana kapta softvaro, kiu kaptas sin mem dum funkciado

Desegno de arbo uzanta rekursivan funkcion, skribitan en la logoo

Rikuro (el lat. recurrere, kuri returne) en logiko, matematiko kaj programado estas difino de funkcio, kiu inkluzivas la difinatan funkcion. Ĉiu rikura difino bezonas almenaŭ unu kazon ne rikuran. Pli ĝenerale oni uzas la terminon por iu sekvenco de objektoj, ripetiĝantaj je mem-simila maniero. Ekzemple, se oni aranĝas du spegulojn paralele, la aro de reflektoj, reflektoj de reflektoj, reflektoj de reflektoj de reflektoj ktp estus ekzemplo de nefinia rikuro.

Formalaj difinoj

Rikuro estas klaso de objektoj aŭ metodoj difinitaj per simpla baza kazo (almenaŭ unu) kaj aro de reguloj, kiuj reduktas ĉiujn sekvajn kazojn ĝis baza(j) kazo(j). La algoritmon de rikuro oni povas esprimi jene:

1. Ĉu estas fino? Rikura procedo kutime havas finan kondiĉon, plej ofte kiam la problemo estas reduktita al la baza kazo. Se tiu kondiĉo ne estas difinita, temas pri nefinia rikuro.
2. Se la fina kondiĉo ankoraŭ ne okazis, apliku la regulon de simpligo kaj redoni simpligitan problemon.

Rikuro en matematiko

En matematiko rikuro estas vaste uzata por difini arojn, funkciojn kaj por pruvi teoremojn.

Ekzemploj de rikure difinitaj aroj

Naturaj nombroj

La plej klasika rikure difinita aro estas ankaŭ la plej konata - la aro de naturaj nombroj: Baza kazo:

$0\in \mathbb {N}$

Regulo:

se $n\in \mathbb {N}$, do ankaŭ $n+1\in \mathbb {N}$

La aro de naturaj nombroj estas la plej malgranda aro, kiu akordas kun tiuj du ecoj.

Nombroj de Fibonaĉi

Alia klasika ekzemplo de rikura difino estas la aro de fibonaĉi-nombroj:

$F_{n}:=F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{ se }}n=0;\\1&{\mbox{ se }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{ se }}n>1.\\\end{cases}}$

En tiu ekzemplo ni havas du bazajn kazojn - 0 kaj 1.

Ekzemploj de rikure difinitaj funkcioj

Faktorialo

Faktorialo n! de natura nombro n estas la produto de ĉiuj pozitivaj entjeroj malpliaj aŭ egalaj al n. Formala difino estas jena:

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n=\prod _{k=1}^{n}k$

Aldone, oni difinas ke

$0!=1$

kaj

$1!=1$

Uzante la lastan kiel bazan kazon, oni povas difini faktorialon de ĉiu naturalo rikure:

${\begin{cases}1!=1\\n!=n\cdot (n-1)!\end{cases}}$

Funkcio de Ackermann-Péter

Funkcio de Ackermann-Péter (akermana funkcio) estas klasika plej simpla ekzemplo de funkcio, kiu estas komputebla, sed ne primitive rikura - t.e. oni ne povas difini ĝin sen rikuro (kvankam jam ekzistas pruvitaj manieroj esprimi ĝin per aliaj metodoj). La funkcio, por nenegativaj entjeroj m kaj n, difiniĝas jene:

$A(m,n)={\begin{cases}n+1&{\mbox{ se }}m=0\\A(m-1,1)&{\mbox{ se }}m>0{\mbox{ kaj }}n=0\\A(m-1,A(m,n-1))&{\mbox{ se }}m>0{\mbox{ kaj }}n>0\end{cases}}$

Evidentas, ke la funkcio kreskas treege rapide kaj produktas enormajn nombrojn eĉ kun sufiĉe malgrandaj valoroj de m kaj n. Ekzemple, A(4,2) estas entjero konsistanta je 19,729 numeroj en dekuma sistemo. Por pli grandaj valoroj oni uzas specialajn notaciojn kiel hiperoperatoro, notacio de Knuth, notacio de Conway ktp.

Aliaj ekzemploj

• Katalunaj nombroj
• Polinomo de Hermite
• Polinomo de Legendre
• Simbolo de Newton
• Triangulo de Sierpinski
• Komputo de ekonomia interezo

Lingvaj notoj

Estas diversaj terminoj por la koncepto en Esperanto. Ekzemple: PIV de 2002 havas "rekursio", kiu simple aludas "rekurso", kiu havas "rikuro" kiel unu difinon. Komputeko donas "rikuro" kaj "rekursio". Komputada Leksikono donas "rikuro"

"Kurso" estas oficiala radiko; "rekursio", "rikuro" ne estas.

Vidu ankaŭ

• Frakto
• Matematika indukto
• Peter Naur
• Transfinia rikuro