Hipergeometria serio

En matematiko, hipergeometria serio estas potencoserio en kiu la rilatumoj de sinsekvaj koeficientoj k estas racionala funkcio de k. La serio, se konverĝa, difinos hipergeometrian funkcion kiu povas tiam esti difinita super pli larĝa domajno de la argumento per analitika vastigaĵo. La hipergeometria serio estas ĝenerale skribita:

$\,_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{n}z^{n}}{n!}}$

kie $\alpha _{0}=1$ kaj

${\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {(n+a_{1})(n+a_{2})\cdots (n+a_{p})}{(n+b_{1})(n+b_{2})\cdots (n+b_{q})}}.$

La serio povas ankaŭ esti skribita:

$\,_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\ldots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}$

kie $(a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1)$ estas la pligrandiĝanta faktorialo aŭ Pochhammer-simbolo.

Enkonduko

Hipergeometria serio povis principe esti iu ajn formala potencoserio

$\sum _{n}\beta _{n}$

en kiu la rilatumo de sinsekvaj termoj

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}$

estas racionala funkcio de n. Tio estas,

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {{\tilde {P}}(n)}{{\tilde {Q}}(n)}}$

por iu (polinomoj, polinomas) ${\tilde {P}}(n)$ kaj ${\tilde {Q}}(n)$. Tial, ekzemple, ĉe geometria serio, ĉi tiu rilatumo estas konstanto. Alia ekzemplo estas la serio por la eksponenta funkcio, por kiu

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {z}{n+1}}.$

En praktiko la serio estas skribita kiel eksponenta funkcia generanta funkcio, modifanta la koeficientojn tiel ke ĝenerala termo de la serio prenas la formon

$\beta _{n}={\frac {z^{n}\alpha _{n}}{n!}},$

kaj $\alpha _{0}=1$. Oni uzas la eksponenta funkcio kiel 'baza linio' por diskuto.

Multaj interesaj serioj en matematiko havas la propraĵon, ke la rilatumo de sinsekvaj termoj estas racionala funkcio. Tamen, kiam esprimita kiel eksponenta funkcia generanta funkcio, tia serio havas ne-nulan konverĝoradiuson nur sub limigitaj kondiĉoj. Tial, per konvencio, la uzo de la termino hipergeometria serio estas kutime limigita al la kazo kie la serio difinas realan analitikan funkcion kun ne-nula konverĝoradiuso. Tia funkcio, kaj ĝiaj analitikaj vastigaĵoj, estas nomitaj la hipergeometria funkcio.

Konverĝaj kondiĉoj estis donita de Carl Friedrich Gauss, kiu kontrolis la okazon

${\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {(n+a)(n+b)}{(n+c)}}$,

kondukante al la klasika norma hipergeometria serio

$\,_{2}F_{1}(a,b,c;z).$

Notacio

La norma notacio por la ĝenerala hipergeometria serio estas

$\,_{m}F_{p}.$

Ĉi tie, la entjeroj m kaj p signifas la gradon de la polinomoj P kaj Q, respektive, signanta la rilatumon

${\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {P(n)}{Q(n)}}.$

Se m>p+1, la konverĝoradiuso estas nulo kaj (do, tiel) estas ne analitika funkcio. La serio nature finigas en la okazo se P(n) estas iam 0 por n natura nombro. Se Q(n) estis iam nulo, la koeficientoj devus esti nedefinitaj.

La plena notacio por F alprenas, ke P kaj Q estas _monic_ kaj faktorigitaj, tiel ke la notacio por F inkluzivas m-opa kio estas la listo de la kliŝ(aĵ)oj de la nuloj de P kaj p-opo de la kliŝ(aĵ)oj de la nuloj de Q. Ĉi tio estas ne multa limigo: la fundamenta teoremo de algebro aplikiĝas, kaj ni povas ankaŭ absorbi kondukantan koeficiento de P aŭ Q per redifinado de z. Sekve de la faktorigo, ĝenerala termo en la serio tiam prenas la formon de rilatumo de produtoj de Pochhammer-simboloj. Ĉar Pochhammer-a notacio por pligrandiĝantaj faktorialoj estas tradicia, estas pli nete skribi F kun la kliŝ(aĵ)oj de la nuloj. Tial, por plenumi la notacian ekzemplon, oni havas

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}$

kie $(a)_{n}=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)$ estas la (pligrandiĝante, pligrandiĝanta) faktorialo aŭ Pochhammer-simbolo. Ĉi tie, la nuloj de P estis −a kaj −b, dum la nulo de Q estis −c.

Specialaj okazoj kaj aplikoj

La klasikaj perpendikularaj polinomoj povas ĉiuj esti esprimitaj kiel specialaj kazoj de ${\;}_{2}F_{1}$ en kiu unu aŭ ambaŭ a kaj b estas negativaj entjeroj. Simile, la Legendre-aj funkcioj ankaŭ estas speciala kazo.

Aplikoj de hipergeometria serio inkluzivas la inversigon de elipsaj integraloj; ĉi tiuj estas konstruitaj per preni la rilatumon de la du lineare sendependaj solvaĵoj de la hipergeometria diferenciala ekvacio por formi Schwarz-Christoffel-ajn mapojn de la fundamenta domajno al la kompleksa projekcia linio aŭ Rimana sfero.

La Kummer-a funkcio ₁F₁(a,b;z) estas sciata kiel la kunflua hipergeometria funkcio.

La funkcio ₂F₁ havas kelkajn integralajn prezentojn, inkluzivantaj la Eŭleran hipergeometrian integralon.

Identoj

Iuj hipergeometriaj funkciaj identoj estis esploritaj en la 19-a kaj 20-a jarcentoj; unu klasika listo de tiaj identoj estas la listo de Bailey.

Estas nun komprenite, ke estas tre granda nombro de tiaj identoj, kaj kelkaj algoritmoj estas nun sciataj generi kaj pruvi ĉi tiujn identojn. En certa senco, la situacio povas esti konsiderata simila al nanta komputilo por plenumi adicion kaj multiplikon; la reala valoro de la rezultanta nombro estas kvazaŭ malpli grava ol la diversaj ŝablonoj, kiuj aperas; kaj tiel ĝi estas kun hipergeometriaj identoj ankaŭe.

Historio kaj ĝeneraligoj

Studoj en la dek-naŭa jarcento inkluzivis tiujn de Ernst Kummer, kaj la fundamentan karakterizadon fare de Bernhard Rimano de la F-funkcio per la diferenciala ekvacio kiun ĝi (verigas, kontentigas). Rimano montris, ke la dua-orda diferenciala ekvacio (en z) por F, ekzamenita en la kompleksa ebeno, povas esti priskribita (sur la Rimana sfero) per ĝiaj tri regulaj specialaĵoj: ke efike la tuta algoritma flanko de la teorio estis konsekvenco de bazaj faktoj, kaj de la uzo de Möbius-aj transformoj kiel geometria simetria grupo.

La kazoj kie la solvoj estas algebraj funkcioj estis trovita de H. A. Schwarz (listo de Schwarz).

Sinsekve la hipergeometria serio estis ĝeneraligita al kelkaj variabloj, ekzemple fare de Paul Emile Appell; sed komparebla ĝenerala teorio dum longa tempo ne aperis. Multaj identoj estis trovitaj, iu sufiĉe rimarkinda. Ĝeneraligo, la analogoj q-serio, nomitaj la baza hipergeometria serio, estis donita de Eduard Heine en la malfrua dek-naŭa jarcento. Ĉi tie, la rilatumo de sinsekvaj termoj, anstataŭ esti racionala funkcio de n, estas konsiderita racionala funkcio de $q^{n}$. Alia ĝeneraligo, la elipsa hipergeometria serio, estas tiu serio kie la rilatumo de termoj estas elipsa funkcio (duoble perioda meromorfa funkcio) de n.

Dum la dudeka jarcento ĉi tio estis fruktodona areo de kombina matematiko, kun multaj ligoj al aliaj kampoj. Estas nombro da novaj difinoj de hipergeometria serio, fare de Aomoto, Israelo Gelfand kaj aliaj; kaj aplikoj ekzemple al la kombinatoriko de aranĝanta nombro da hiperebenoj en kompleksa N-spaco (vidu artikolon ordigo de hiperebenoj).

Hipergeometria serio povas esti ellaborita sur rimanaj simetriaj spacoj kaj duone-simplaj grupoj de Lie. Ilia graveco kaj rolo povas esti komprenitaj per speciala kazo: la hipergeometria serio ₂F₁ estas proksime rilata al la Legendre-aj polinomoj, kaj kiam uzita en la formo de sfera harmoniko, ĝi esprimas, en certa senco, la simetriajn propraĵojn de la du-sfero aŭ ekvivalente la turnadojn donitajn de la grupo de Lie SO(3). Konkretaj prezentoj estas analogaj al la koeficientoj de Clebsch-Gordan.

Referencoj

• • Ĉapitro 13. - $\,_{1}F_{1}$ kaj $\,_{2}F_{0}$
  • Ĉapitro 15. - $\,_{2}F_{1}$
• (Parto 1 traktas hipergeometriajn funkciojn sur Lie-grupoj.)