Konverĝa serio

En matematiko, serio estas sumo da eroj el vico de nombroj.

Por donita vico $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}$ , la n-a parta sumo S_n estas sumo de la unuaj n eroj de la vico, tio estas,

S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}

Serio estas konverĝa se kaj nur se la vico de ĝiaj partaj sumoj $\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$ konverĝas (ekzistas limigo de vico). En pli formala lingvo, serio konverĝas se tie ekzistas limigo y, tia ke por ĉiu ajne malgranda pozitiva nombro e, e>0, estas entjero N tia ke por ĉiuj n ≥ N,

\left|S_{n}-y\right\vert \leq e\,.

Serio kiu ne estas konverĝa estas malkonverĝa serio (ankaŭ nomita diverĝa serio).

Ekzemploj

Konverĝaj serioj

Inversoj de nenegativaj entjeraj potencoj de 2
: ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2$

Inversoj de pozitivaj entjeroj kun alternaj signoj (alterna serio)
: ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots =\ln 2$

Inversoj de kvadrataj nombroj
: ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}$

Inversoj de pozitivaj neparaj entjeroj kun alternaj signoj
: ${1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots ={\pi \over 4}$

Malkonverĝaj serioj

Inversoj de pozitivaj entjeroj
: ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots$

Inversoj de primoj:
: ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots$

Konverĝaj testoj

Konverĝa testo estas maniero por difini ĉu serio konverĝas aŭ malkonverĝas

Kompara provo

Eroj de la vico $\left\{a_{n}\right\}$ estas komparataj al tiuj de la alia vico $\left\{b_{n}\right\}$ .

Se, por ĉiuj n, $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$ kaj $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konverĝas, do $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konverĝas.

Se, por ĉiuj n, $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$ , kaj $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ malkonverĝas, do $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ malkonverĝas.

Rilatuma provo

Se por ĉiu n, a_n>0 kaj ekzistas r tia ke

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=r

tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.

Se r = 1 la rilatuma provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.

Radika provo

Se por ĉiu n, a_n≥0 kaj ekzistas r tia ke

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=r

tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.

Se r = 1 la radika provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.

La rilatuma provo kaj la radika provo estas ambaŭ bazitaj sur komparo kun geometria serio, kaj tiel ili laboras en similaj situacioj. Se la rilatuma provo laboras (la limigo ekzistas kaj estas ne egala al 1) tiam laboras la radika provo. La reo tamen, estas ne vera. La radika provo estas pro tio pli ĝenerale aplikebla, sed kiel praktika materio la limigo estas ofte malfacila al komputi por kutime estantaj specoj de serioj.

Limiga kompara provo

Se por ĉiu n, a_n>0 kaj b_n>0 kaj limigo $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ekzistas kaj estas ne nulo, do $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konverĝas se kaj nur se $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konverĝas.

Alterna seria provo aŭ kriterio de Leibniz

Por alterna serio de formo $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}$ kie por ĉiu n a_n>0, se {a_n} estas monotone malkreskanta kaj havas limigon 0, do la serio konverĝas.

Integrala provo

La serio povas esti komparita al integralo. Se ekzistas pozitiva kaj monotone malkreskanta funkcio f(x) tia ke je ĉiuj pozitivaj entjeraj argumentoj ĝi egalas al eroj de la serio f(n) = a_n kaj se

\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty

tiam la serio konverĝas. Se la integralo malkonverĝas, tiam la serio malkonverĝas.

Koŝia konverĝa provo

Serio

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

konverĝas se kaj nur se la vico de partaj sumoj estas koŝia vico.

Ĉi tio signifas ke por ĉiu $\varepsilon >0$ estas pozitiva entjero N tia ke por ĉiuj m kaj n tiaj ke n ≥ m ≥ N

\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon

kio estas ekvivalento al

\lim _{n\to \infty  \atop m\to \infty }\sum _{k=n}^{n+m}a_{k}=0

Koŝia kondensa provo

Se {a_n} estas monotona malkreskanta vico, do $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konverĝas se kaj nur se $\sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}$ konverĝas.

Provo de Dirichlet

Abela provo

Provo de Raabe

Kondiĉa kaj absoluta konverĝo

Por ĉiu vico $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}$ , laŭ propraĵo de sumo de absolutaj valoroj (neegalaĵo de triangulo sur la kompleksa ebeno)

\left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\right|\leq \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|

Ĉi tio signifas ke se $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|$ konverĝas, tiam ankaŭ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konverĝas (sed ne inverse).

Se serio $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|$ konverĝas, do serio $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ estas absolute konverĝa. Absolute konverĝa vico estas tiu en kiu longo de linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas finia. Ekzemple, serio de Taylor de la eksponenta funkcio estas absolute konverĝa ĉie.

Se serio $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konverĝas sed serio $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|$ malkonverĝas, do la serio $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ estas kondiĉe konverĝa. La linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas malfinie longa. Ekzemple, serio de Taylor de logaritmo estas kondiĉe konverĝa.

La rimana seria teoremo statas ke se reela serio konverĝas kondiĉe, do eblas reordigi ĝiajn erojn tiel ke la serio konverĝu al ĉiu donita reela valoro, aŭ malkonverĝu.