Leĝo de kosinusoj

Ĉi tiu artikolo temas pri leĝo de kosinusoj en eŭklida geometrio. Por informoj pri la respektiva teoremo en sfera geometrio, vidu la artikolon leĝo de kosinusoj (sfera). Pri la leĝo de kosinusoj en optiko, vidu la paĝon kosinusa leĝo de Lambert.

En trigonometrio, la leĝo de kosinusoj, nomita ankaŭ kosinusa formulo, kosinusa regulo, kosinusa teoremo aŭ kosinusa teoremo de Carnot, estas interrilato inter longoj de lateroj kaj kosinuso de unu el anguloj ĉe triangulo sur eŭklida ebeno.

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,

kie c estas longoj de latero kontraŭa al angulo γ,

a kaj b estas longoj de latero inter kiuj estas angulo γ.

Ekvivalente por la aliaj anguloj de la triangulo la leĝo estas:

b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta )\,

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )\,

La leĝo de kosinusoj estas ĝeneraligo de la teoremo de Pitagoro, kiu veras nur por ortaj trianguloj: se la angulo γ estas orto (90° aŭ π/2 radianoj), tiam cos γ=0, kaj tial la leĝo de kosinusoj reduktiĝas al

c^{2}=a^{2}+b^{2}\,

kio estas la teoremo de Pitagoro.

Aplikoj

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputi la trian lateron de triangulo se du lateroj kaj angulo inter ili estas sciataj:

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}}\,

Tiel la teoremo estas uzata en triangulado.

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputanti angulojn de triangulo se ĉiuj tri lateroj estas sciataj:

\gamma =\cos ^{-1}{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputi la trian lateron de triangulo se du lateroj kaj angulo kontraŭa al unu el ili estas sciataj:

a=b\cos(\gamma )\pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}(\gamma )}}\,

Ĉi tiuj formuloj produktas grandajn rondigajn erarojn en flosantaj punktaj kalkuloj se la triangulo estas tre akuta, kio estas, se c estas malgranda relative al a kaj b aŭ γ estas malgranda.

La tria formulo estas la rezulto de solvado por a de la kvadrata ekvacio

a² − 2ab cos γ + b² − c² = 0.

Ĉi tiu ekvacio povas havi 0, 1 aŭ 2 pozitivajn solvaĵojn depende de kvanto de eblaj trianguloj donitaj per la datumoj b, c kaj γ. Estas du pozitivaj solvaĵoj se b sin(γ) < c < b, nur unu pozitiva solvaĵo se c > b aŭ c = b sin(C), kaj ne estas pozitivaj solvaĵoj se c < b sin(γ). Ĉi tiuj malsamaj okazoj estas ankaŭ eksplikitaj per la latero-latero-angula kongrueca multvaloreco.

Pruvo

Konsideri triangulo kun lateroj de longoj a, b, c, kie estas γ la angulo kontraŭa la latero de longo c. Situu ĉi tiu triangulo sur la koordinatsistemo tiel ke la verticoj estu kun koordinatoj A (b cos γ, b sin γ), B(a,0), C(0,0). Per la distanca formulo, $c={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}$ kaj plu:

{\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \gamma -a)^{2}+(b\sin \gamma -0)^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\gamma -2ab\cos \gamma +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma )-2ab\cos \gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}

Izocela okazo

Se la triangulo estas izocela, a = b, la leĝo de kosinusoj plisimpliĝas) grave. Ĉar tiam a² + b² = 2a² = 2ab, la leĝo de kosinusoj iĝas kiel

\cos(\gamma )=1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}.

Analogo por kvaredroj

Estu $\scriptstyle {\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta }$ areoj de la kvar edroj de kvaredro. Estu la duedraj anguloj per $\scriptstyle {{\widehat {\beta \gamma }},}$ kaj tiel plu. Tiam