Ludoteorio

Ludoteorio estas fako de aplika matematiko kiu estas uzata en socia scienco (plej grave en ekonomio), biologio, inĝenierarto, politika scienco, komputiko (ĉefe en artefarita intelekto), kaj filozofio. Ludoteorio klopodas matematike esprimi kondutojn en strategiaj situacioj, kiam la sukceso de ĉiu elektofaranta individuo dependas de la elektoj fare de aliaj. Dekomence estigita por analizi konkuradojn kie oni bonigis sian pozicion per la kosto de alia (nulsumaj ludoj), ĝi estis ekspansigita por studi pli grandan nombron de specoj de interagadoj, kiuj estas enklasigitaj kelkmaniere. Hodiaŭ, “ludoteorio estas unuigita kampa teorio pli la racia flanko de la socia scienco, kie 'socia' estas larĝe interpretata por enhavi ankaŭ nehomajn ludantojn (komputiloj, bestoj, plantoj)” (Aumann 1987)

Klasika ludoteorio

Kutime la termino ludoteorio aludas ludojn en kiuj la ludantoj samtempe elektas opciojn, kaj la rezulto dependas nur de tiuj elektoj. Oni povas reprezenti tian ludon per matrico de poentoj gajnataj de la ludantoj laŭ la kombino de elektoj. Pli specifaj nomoj por tiu branĉo de matematiko estas:

ludoteorio de Von Neumann (ĉar John Von Neumann estis pioniro)
klasika ludoteorio
ekonomia ludoteorio (ĉar ĝi estas uzata en diversaj matematikaj modeloj de ekonomio)

La plej fama ludo analizita en ludoteorio estas la Prizonula Dilemo.

Gravaj ludoteoriistoj estas John Von Neumann, Oskar Morgenstern, John Nash, Reinhard Selten kaj John Charles Harsanyi.

La esperantisto Reinhard Selten ricevis en 1994 la Nobelpremion pro sia disvolvigado de la ludoteorio. Ankaŭ en la jaro 2005 la Premio Nobel de Ekonomiko estis atribuita al du ludoteoriistoj: Thomas Schelling kaj Robert Aumann.

Diversaj specoj de ludoj

Nombro da ludantoj

Malsamaj ludoj havas malsamajn nombrojn da ludantoj (du, tri, kvar, ktp.), aŭ eĉ variantajn nombrojn da ludantoj.

Diskretaj / kontinuaj ludoj

Diskretaj ludoj estas tiuj, en kiuj la ludado estas dividita en individuajn apartajn kaj ofte alternajn vicojn. Kontraste, en kontinuaj ludoj, kiel ekzemple realtempaj komputiloludoj, aŭ diversaj "persekutaj kaj evitaj" ludoj, ludantoj povas elekti el kontinua aro da strategioj aŭ, je ajna momento, povas ŝanĝi al nova strategio.

Kombinatorika ludoteorio aperas el la analizo de diskretaj ludoj. Diferencialaj ludoj aperas el la analizo de kontinuaj ludoj, kaj estas rilataj al kontrolteorio.

Kooperaj / nekooperaj ludoj

En stafetkuro, ludantoj de difinita teamo kunlaboras, provante helpi sian teamon kompletigi la kuron kun la plej rapida tempo. En plurludantaj ludoj kun konkurenco, ekzistas ŝanco por ludantoj formi dinamikajn aliancojn, depende de la stato de la ludo kaj la antaŭvidata konduto de la kontraŭuloj.

Nulsumaj / ne-nulsumaj ludoj

Nulsumaj ludoj estas tiuj, en kiuj ĉiu avantaĝo por unu ludanto speguliĝas kiel malavantaĝo por la alia(j) ludanto(j), tiel ke la sumiĝita plibonigo estas nulo. (Ĉi tio supozas, ke ekzistas nombra reprezentado de la rezulto de la ludo.) Ekzemple, kiam du homoj planas dividi kukon, ĉiu gajno por unu persono rezultigas perdon por la alia. Komerco, en kiu kompanioj povas kunlabori por reciproka profito, ofte estas rigardata kiel ne-nulasuma ludo.

Ludoj de perfekta informo / neperfekta informo

Perfektaj informaj ludoj estas tiuj, en kiuj ĉiu ludanto havas aliron al ĉiu rilata informo en la ludo, kiel en la ludo ŝako. Kontraste, en neperfektaj informaj ludoj, kiel Pokero, ajna rilata informo estas kaŝita.

Simetriaj / nesimetriaj ludoj

Simetriaj ludoj estas tiuj, en kiuj ĉiu ludanto havas aliron al la samaj strategioj, kaj tiuj strategioj donas la saman rezulton por ĉiu ludanto. La ludo Vulpoj kaj Ĉashundoj estas ekzemplo de nesimetria ludo, kie malsamaj ludantoj uzas malsamajn pecojn, kun malsamaj movkapabloj.

Sinsekvaj / samtempaj ludoj

Sinsekvaj ludoj estas tiuj, en kiuj, momente, nur unu ludanto prenas vicon. Kontraste, samtempaj ludoj estas tiuj, en kiuj ĉiuj ludantoj (aŭ almenaŭ du) prenas vicon samtempe. Vaste konata ekzemplo de samtempa ludo estas Papero, Tondilo, Ŝtono.

Kombinatorika ludoteorio

Kombinatorika ludoteorio estas aparta fako kiu studas ludojn en kiuj 2 ludantoj laŭvice elektas opciojn, anstataŭ samtempe, ĝis unu ludanto ne povos movi (kaj tial malgajnos). Pionira laboro tiukampe okazis en la 30aj jaroj kun la teorio de Sprague kaj Grundy, ke ĉiu senpartia ludo (t.e. ke ambaŭ ludantoj havas la samajn opciojn) ekvivalentas al Nim. Ekde la 60aj jaroj, Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway kaj Richard K. Guy evoluigis tiun matematikon kaj esploris pri partizanaj ludoj (t.e. ke la ludantoj ne nepre havas la samajn opciojn), plej influe en la kvar-voluma aro Winning Ways (Gajnantaj Metodoj).^[1]^[2]^[3]^[4] Tiu esplorado kondukis al evoluigo de alia nombrosistemo, fojfoje nomata la surrealaj nombroj. Conway estis inspirita pro observado de la finludo de Goo, en kiu ofte okazas ke apartaj sekcioj de la ludo iĝas sendependaj unu de la alia.

Unu el la plej gravaj konceptoj en kombinatorika ludoteorio estas la sumo de du ludoj, kio estas alia ludo, en kio ĉiu ludanto povas preni vicon aŭ en unu ludo aŭ la alia, je iu ajn vico, kaj ludanto venkas kiam lia kontraŭulo havas neniun vicon en ambaŭ ludoj.

Ludoj kaj surreala nombroj

Notacio

Por duludanta ludo nomita ℓ inter ludantoj Maldekstra kaj Dekstra, estu D reprezenti la aron de vicoj disponebla al Dekstra, kaj estu M reprezenti la aron de vicoj disponebla al Maldekstra. Oni skribas $\ell =\{M|D\}=\{M_{1},M_{2},M_{3},\ldots |D_{1},D_{2},D_{3},\ldots \}$ . La malplena aro tradicie estas preterlasita. Ekzemple, $\{M|\emptyset \}$ estas skribita nur $\{M|\ \}$ .

En la ludo $\{\ |\ \}$ , neniu ludanto havas disponeblan vicon, do la unua ludanto kiu prenas vicon malvenkas, kaj la dua ludanto venkas. Ĉi tiu ludo nomiĝas 0 (nulo).

En la ludo $\{0|\ \}$ , ludanto Maldekstra venkas, sendepende kiu ludanto unue prenas vicon. Ĉi tiu ludo nomiĝas 1 (uno). Pli ĝenerale, en ludo kun pozitiva valoro, ludanto Maldekstra ĉiam povas venki.

Ekzistas la nocio de la negativo de ludo. Se $\ell =\{M|D\}$ , la ludo kun la ludantoj interŝanĝitaj estas $-\ell =-\{M|D\}=\{-D|-M\}$ .

Oni povas montri, ke $\{0|1\}+\{0|1\}$ havas la saman valoran kiel $\{\ |\ \}=0$ , do la ludo $\{0|1\}$ nomiĝas ${\frac {1}{2}}$ .

Konstruado

Conway dividis la konstruadon de la duumaj frakciaj ludoj en stadiojn. En ĉiu stadio, ludoj estas difinitaj laŭ aliaj ludoj, kiuj estis difinitaj en antaŭaj stadioj. En stadio nulo, la sola difinita ludo estas la sola, kiu povas esti difinita:

Stadio #0: $0=\{\ |\ \}$

Stadio #1: $-1=\{\ |0\}$ kaj $1=\{0|\ \}$

Stadio #2: $-2=\{\ |-1\},2=\{1|\ \},-{\frac {1}{2}}=\{-1|0\},{\frac {1}{2}}=\{0|1\}$

k.t.p. Ĉiu finia duuma frakcia ludo estas difinita je iu finia stadio.

Ekzistas ankaŭ senfinaj kaj infinitezimalaj ludoj:

$\omega =\{0,1,2,3,\ldots |\ \}$

$\varepsilon =\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\ldots \}$

Surrealaj nombroj

La surrealaj nombroj formas subaron de ludoj. Surrealaj nombroj havas la limigo, ke neniu membro de la maldekstra aro estas pli granda ol aŭ egala al iu ajn membro de la dekstra aro. En notacio, por surreala nombro $x=\{X_{M}|X_{D}\}$ , kaj por ĉiu $x_{M}\in X_{M}$ kaj $x_{D}\in X_{D}$ , ni ĉiam havas, ke $x_{M}\ngeq x_{D}$ . Ni skribas ĉi tiun kiel $X_{M}\ngeq X_{D}$ .

Referencoj

↑ Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy. (1982) Winning Ways for your Mathematical Plays, Volume 1: Games in General, 2‑a eldono (angle), Academic Press. ISBN 1-56881-130-6.
↑ Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy. (2003) Winning Ways for your Mathematical Plays, Volume 2, 2‑a eldono (angle), A K Peters, Ltd.. ISBN 1-56881-142-X.
↑ Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy. (2003) Winning Ways for your Mathematical Plays, Volume 3, 2‑a eldono (angle), Taylor & Francis. ISBN 1-56881-143-8.
↑ Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy. (2004) Winning Ways for your Mathematical Plays, Volume 4, 2‑a eldono (angle), Taylor & Francis. ISBN 1-56881-144-6.

Fontoj

Elwyn Berlekamp, David Wolfe. (1994) Mathematical Go: Chilling Gets the Last Point (angle). ISBN 1-56881-032-6.
Conway, J. H.. (2001) On Numbers and Games, 2‑a eldono (angle), CRC Press. ISBN 1-56881-127-6.
Knuth, D. E.. (1974) Surreal Numbers: how two ex-students turn on to mathematics and found total happiness (angle). Addison Wesley. ISBN 0-201-03812-9. OCLC 74-5998.