Multiplika funkcio

En nombroteorio, multiplika funkcio estas aritmetika funkcio f(n) de la pozitiva entjero n kun la propraĵoj f(1) = 1 kaj por ĉiuj [[Reciproka primeco|reciproke primaj] a kaj b

f(ab) = f(a) f(b) .

Aritmetika funkcio f(n) estas forte multiplika se f(a^b) = f(a) por ĉiu primo a kaj pozitiva entjero b.

Aritmetika funkcio f(n) estas plene multiplika se f(1) = 1 kaj f(ab) = f(a) f(b) veras por ĉiuj pozitivaj entjeroj a kaj b, eĉ se ili estas ne [[Reciproka primeco|reciproke primaj]. Tiam f(a^b) = f(a)^b.

Ekster nombroteorio, la termino multiplika estas kutime uzata por funkcioj kun la propraĵo f(ab) = f(a) f(b) por ĉiuj argumentoj a kaj b; ĉi tio postulas ke f(1) = 1, aŭ f(a) = 0 por ĉiuj a escepti a = 1. Ĉi tiu artikolo diskutas nombro-teoriajn multiplikajn funkciojn.

Ekzemploj

Ekzemploj de multiplikaj funkcioj inkluzivas multajn funkciojn gravajn en nombroteorio:

• $\phi$(n): eŭlera funkcio $\phi$, kalkulanta la pozitivajn entjerojn kiuj estas [[Reciproka primeco|reciproke primaj] al n kaj esras ne pli grandaj n
• $\mu$(n): la funkcio de Möbius, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj de kvadrato-liberaj nombroj
• plej granda komuna divizoro(n,k): la plej granda komuna divizoro de n kaj k, kie k estas fiksita entjero.
• d(n): la kvanto de pozitivaj divizoroj de n,
• $\sigma$(n): la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n,
• $\sigma$_k(n): la dividanta funkcio, kiu estas la sumo de la k-onaj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n (kie k povas esti ĉiu kompleksa nombro). En specialaj okazoj:
  • $\sigma$₀(n) = d(n) kaj
  • $\sigma$₁(n) = $\sigma$(n) ,
• 1(n): la konstanta funkcio, difinita kiel 1(n) = 1 (plene multiplika)
• Id(n): identa funkcio, difinita kiel Id(n) = n (plene multiplika)
• Id_k(n): la pova funkcio, difinita kiel Id_k(n) = n^k por ĉiu natura aŭ kompleksa nombro k (plene multiplika). Kiel specialaj okazoj:
  • Id₀(n) = 1(n) kaj
  • Id₁(n) = Id(n) ,
• $\epsilon$(n): la funkcio difinita kiel $\epsilon$(n) = 1 se n = 1 kaj = 0 se n > 1, iam nomata kiel multiplika unuo por rulumo de Dirichlet aŭ simple la unuobla funkcio; iam skribita kiel u(n), ĝi estu ne konfuzita kun $\mu$(n) (plene multiplika).
• (n/p), la simbolo de Legendre, kie p estas fiksita primo (plene multiplika).
• $\lambda$(n): la funkcio de Liouville, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj dividantaj na n (plene multiplika).
• $\gamma$(n), difinita kiel $\gamma$(n)=(-1)^$\omega$(n), kie la adicia funkcio $\omega$(n) estas la kvanto de diversaj primoj dividantaj na n.
• Ĉiuj signoj de Dirichlet estas plene multiplikaj funkcioj.

Ekzemplo de ne-multiplika funkcio estas la aritmetika funkcio r₂(n) - la kvanto de prezentoj de n kiel sumoj de kvadratoj de du entjeroj, pozitivaj, negativaj, aŭ nulo, kie en kalkulo de la kvanto de la manieroj, malaj ordoj estas permesataj. Ekzemple:

1 = 1² + 0² = (-1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (-1)²

kaj pro tio r₂(1) = 4 ≠ 1. Ĉi tio montras ke la funkcio estas ne multiplika. Tamen, r₂(n)/4 estas multiplika.

Vidu en aritmetika funkcio por iuj aliaj ekzemploj de ne-multiplikaj funkcioj.

Propraĵoj

Multiplika funkcio estas plene difinita per siaj valoroj je la potencoj de primoj, kio estas konsekvenco de la fundamenta teoremo de aritmetiko. Tial, se n estas produto de potencoj de diversaj primoj

n = p^a q^b ..., tiam

f(n) = f(p^a) f(q ^b) ...

Ĉi tiu propraĵo de multiplikaj funkcioj grave reduktas la necesan por kalkulado, kiel en jenaj ekzemploj por n = 144 = 2⁴ · 3²:

d(144) = $\sigma$₀(144) = $\sigma$₀(2⁴)$\sigma$₀(3²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

$\sigma$(144) = $\sigma$₁(144) = $\sigma$₁(2⁴)$\sigma$₁(3²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403,

$\sigma$^*(144) = $\sigma$^*(2⁴)$\sigma$^*(3²) = (1¹ + 16¹)(1¹ + 9¹) = 17 · 10 = 170.

Simile:

$\phi$(144)=$\phi$(2⁴)$\phi$(3²) = 8 · 6 = 48

Ĝenerale, se f(n) estas multiplika funkcio kaj a, b estas iuj du pozitivaj entjeroj, tiam

f(a) · f(b) = f(PGKD(a,b)) · f(PMKO(a,b)).

Ĉiu plene multiplika funkcio estas homomorfio de monoidoj kaj estas plene difinita per ĝia limigo al la primoj.

Rulumo

Se f kaj g estas du multiplikaj funkcioj, unu difinas nova multiplika funkcio f * g, la rulumo de Dirichlet de f kaj g, per

(f * g)(n) = ∑_{d |n} f(d)g(n/d)

kie la sumo etendas super ĉiuj pozitivaj divizoroj d de n. Kun ĉi tiu operacio, la aro de ĉiuj multiplikaj funkcioj estas komuta grupo kun la neŭtrala elemento $\epsilon$.

Rilatoj inter la multiplikaj funkcioj estas:

• $\epsilon$ = $\mu$ * 1 (la inversiga formulo de Möbius)
• $\phi$ = $\mu$ * Id
• d = 1 * 1
• $\sigma$ = Id * 1 = $\phi$ * d
• $\sigma$_k = _Id__k * 1
• Id = $\phi$ * 1 = $\sigma$ * $\mu$
• Id_k = $\sigma$_k * $\mu$

La rulumo de Dirichlet povas esti difinita por ĝeneralaj aritmetikaj funkcioj, kaj donas ringan strukturon, la ringon de Dirichlet.

Vidu ankaŭ

• Eŭlera produto
• Serio de Bell
• Adicia funkcio
• Unuobla funkcio