Dividanta funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco
Dividanta funkcio σ0(n) por n≤250
Dividanta funkcio σ1(n) por n≤250
Sumo de la kvadratoj de divizoroj, σ2(n) por n≤250
Sumo de kuboj de divizoroj, σ3(n) por n≤250

En matematiko, kaj aparte en nombroteorio, dividanta funkcio estas aritmetika funkcio rilatanta al divizoroj de entjero.

Difino[redakti | redakti fonton]

La funkcio kiu prezentas sumon de pozitiva divizoroj σx(n) estas difinita kiel la sumo de la x-aj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n, aŭ

La skribmanieroj d(n) kaj τ(n) (la τ funkcio) estas ankaŭ uzata por σ0(n), aŭ kvanto de divizoroj de n. Se x estas 1, la funkcio estas la σ funkcio, kaj la suba indico estas ofte neskribata, do σ(n) estas ekvivalento al σ1(n).

La obla suma funkcio estas sumo de la propraj divizoroj (tio estas, la divizoroj malinkluzivante n mem), estas s(n)=σ1(n)-n; la obla vico de n estas formita per multfoja aplika de la obla suma funkcio.

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Ekzemple, σ0(12) estas la kvanto de la divizoroj de 12:

σ0(12)=10+20+30+40+60+120=1+1+1+1+1+1=6

kaj σ1(12) estas la sumo de ĉiuj divizoroj:

σ1(12)=11+21+31+41+61+121=1+2+3+4+6+12=28

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Por primo p:

d(p)=2
d(pn)=n+1
σ(p)=p+1

Por ĉiu n>2:

1<d(n)<n
σ(n)>n

La dividanta funkcio estas multiplika funkcio, sed ne plene multiplika funkcio. La konsekvenco de ĉi tio estas tiu ke, se

kie estas la kvanto de diversaj primaj faktoroj de n, pi estas la i-a prima faktoro, kaj ai estas la maksimuma povo de pi per kiu n estas dividebla, do

kiu estas ekvivalento al la utila formulo:

Ekvacio por kalkulo de d(n) estas

Ekzemple, se n estas 24, estas du primaj faktoroj (p1 estas 2; p2 estas 3); 24 estas produto de 23×31, a1 estas 3 kaj a2 estas 1. Do d(24) estas:

(la ok divizoroj estas 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, kaj 24).

Funkcio de sumo de la propraj divizoroj s(n) estas la uzata por difini perfektajn nombrojn, por kiu s(n)=n. Se s(n)>n do n estas abunda nombro kaj se s(n)<n do n estas manka nombro.

En 1984, Roger Heath-Brown pruvis ke

d(n)=d(n+1)

okazas malfinie ofte.

Seria elvolvaĵo[redakti | redakti fonton]

La dividanta funkcio povas esti skribita kiel finia trigonometria serio

sen eksplicita referenco al la divizoroj de n.

Seriaj rilatoj[redakti | redakti fonton]

Du serioj de Dirichlet engaĝantaj la dividantan funkcion estas:

kaj

Serio de Lambert engaĝanta la dividantan funkcion estas:

por ajna kompleksa nombro |q|≤1 kaj a. Ĉi tiu sumado ankaŭ aspektas kiel la serio de Fourier de la serio de Eisenstein kaj la invariantoj de la elipsa funkcio de Weierstrass.

Aproksima kreska kurzo[redakti | redakti fonton]

En malgranda o skribmaniero, la dividanta funkcio kontentigas neegalaĵon:

En granda O skribmaniero, Dirichlet montris ke la averaĝa ordo de la dividanta funkcio kontentigas jenan neegalaĵon

kie estas konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Plibonigo de la baro en ĉi tiu formulo estas sciata kiel dividanta problemo de Dirichlet

La konduto de la σ funkcio estas malregula. La kreska kurzo de la σ funkcio povas esti esprimita kiel:

kie limsup estas la limigo supera. Ĉi tiu rezulto estas teoremo de Thomas Hakon Grönwall, publikigita en 1913.

En 1984 Guy Robin pruvis ke

por n>5040

estas vera se kaj nur se la rimana hipotezo estas vera. La plej granda sciata valoro kiu malverigas la neegalaĵon estas n=5040. Se la rimana hipotezo estas vera, ne estas pli grandaj esceptoj. Se la hipotezo estas malvera tiam estas malfinia kvanto da valoroj n tiaj por kiu la neegalaĵo estas malvera.

Rilatanta baro estis donita de Jeffrey Lagarias en 2002, kiu pruvis ke la rimana hipotezo estas ekvivalento al la frazo ke

por ĉiu natura nombro n, kie estas la n-a harmona nombro.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]