Dividanta funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco
Dividanta funkcio σ0(n) por n≤250
Dividanta funkcio σ1(n) por n≤250
Sumo de la kvadratoj de divizoroj, σ2(n) por n≤250
Sumo de kuboj de divizoroj, σ3(n) por n≤250

En matematiko, kaj aparte en nombroteorio, dividanta funkcio estas aritmetika funkcio rilatanta al divizoroj de entjero.

Difino[redakti | redakti fonton]

La funkcio kiu prezentas sumon de pozitiva divizoroj σx(n) estas difinita kiel la sumo de la x-aj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n, aŭ

\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! .

La skribmanieroj d(n) kaj τ(n) (la τ funkcio) estas ankaŭ uzata por σ0(n), aŭ kvanto de divizoroj de n. Se x estas 1, la funkcio estas la σ funkcio, kaj la suba indico estas ofte neskribata, do σ(n) estas ekvivalento al σ1(n).

La obla suma funkcio estas sumo de la propraj divizoroj (tio estas, la divizoroj malinkluzivante n mem), estas s(n)=σ1(n)-n; la obla vico de n estas formita per multfoja aplika de la obla suma funkcio.

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Ekzemple, σ0(12) estas la kvanto de la divizoroj de 12:

σ0(12)=10+20+30+40+60+120=1+1+1+1+1+1=6

kaj σ1(12) estas la sumo de ĉiuj divizoroj:

σ1(12)=11+21+31+41+61+121=1+2+3+4+6+12=28

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Por primo p:

d(p)=2
d(pn)=n+1
σ(p)=p+1

Por ĉiu n>2:

1<d(n)<n
σ(n)>n

La dividanta funkcio estas multiplika funkcio, sed ne plene multiplika funkcio. La konsekvenco de ĉi tio estas tiu ke, se

n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}

kie r=\omega(n) estas la kvanto de diversaj primaj faktoroj de n, pi estas la i-a prima faktoro, kaj ai estas la maksimuma povo de pi per kiu n estas dividebla, do

\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}

kiu estas ekvivalento al la utila formulo:


\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \sum_{j=0}^{a_{i}} p_{i}^{j x} =
\prod_{i=1}^{r} (1 + p_{i}^x + p_{i}^{2x} + ... + p_{i}^{a_i x})

Ekvacio por kalkulo de d(n) estas


d(n)=\prod_{i=1}^{r} (a_i+1)

Ekzemple, se n estas 24, estas du primaj faktoroj (p1 estas 2; p2 estas 3); 24 estas produto de 23×31, a1 estas 3 kaj a2 estas 1. Do d(24) estas:

d(24) = \prod_{i=1}^{2} (a_i+1) = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8.

(la ok divizoroj estas 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, kaj 24).

Funkcio de sumo de la propraj divizoroj s(n) estas la uzata por difini perfektajn nombrojn, por kiu s(n)=n. Se s(n)>n do n estas abunda nombro kaj se s(n)<n do n estas manka nombro.

En 1984, Roger Heath-Brown pruvis ke

d(n)=d(n+1)

okazas malfinie ofte.

Seria elvolvaĵo[redakti | redakti fonton]

La dividanta funkcio povas esti skribita kiel finia trigonometria serio

\sigma_x(n)=\sum_{\mu=1}^{n} \mu^{x-1}\sum_{\nu=1}^{\mu}\cos\frac{2\pi\nu n}{\mu}

sen eksplicita referenco al la divizoroj de n.

Seriaj rilatoj[redakti | redakti fonton]

Du serioj de Dirichlet engaĝantaj la dividantan funkcion estas:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)

kaj

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}

Serio de Lambert engaĝanta la dividantan funkcion estas:

\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}

por ajna kompleksa nombro |q|≤1 kaj a. Ĉi tiu sumado ankaŭ aspektas kiel la serio de Fourier de la serio de Eisenstein kaj la invariantoj de la elipsa funkcio de Weierstrass.

Aproksima kreska kurzo[redakti | redakti fonton]

En malgranda o skribmaniero, la dividanta funkcio kontentigas neegalaĵon:

\mbox{por cxiu }\epsilon>0, d(n)=o(n^\epsilon).

En granda O skribmaniero, Dirichlet montris ke la averaĝa ordo de la dividanta funkcio kontentigas jenan neegalaĵon

\mbox{por cxiu } x\geq1, \sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}),

kie \gamma estas konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Plibonigo de la baro O(\sqrt{x}) en ĉi tiu formulo estas sciata kiel dividanta problemo de Dirichlet

La konduto de la σ funkcio estas malregula. La kreska kurzo de la σ funkcio povas esti esprimita kiel:


\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma .

kie limsup estas la limigo supera. Ĉi tiu rezulto estas teoremo de Thomas Hakon Grönwall, publikigita en 1913.

En 1984 Guy Robin pruvis ke

 \sigma(n)<e^\gamma n\log \log n por n>5040

estas vera se kaj nur se la rimana hipotezo estas vera. La plej granda sciata valoro kiu malverigas la neegalaĵon estas n=5040. Se la rimana hipotezo estas vera, ne estas pli grandaj esceptoj. Se la hipotezo estas malvera tiam estas malfinia kvanto da valoroj n tiaj por kiu la neegalaĵo estas malvera.

Rilatanta baro estis donita de Jeffrey Lagarias en 2002, kiu pruvis ke la rimana hipotezo estas ekvivalento al la frazo ke

 \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}

por ĉiu natura nombro n, kie H_n estas la n-a harmona nombro.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]