Kurba integralo

Ĉi tiu artikolo temas pri "vojaj integraloj" en la ĝenerala matematika senco, kaj ne pri la voja integrala formulaĵo de fiziko studita de Richard Feynman.

En matematiko, voja integralo (ankaŭ sciata kiel linia integralo) estas integralo kie la funkcio integralota estas komputita laŭ vojo aŭ kurbo. Diversaj malsamaj vojaj integraloj estas uzataj. Ĉe fermita voja ĝi estas ankaŭ nomita kontura integralo.

Kompleksa analitiko

La voja integralo estas fundamenta ilo en kompleksa analitiko. Supozu, ke U estas malfermita subaro de C, γ : [a, b] → U estas rektifebla kurbo kaj f : U → C estas funkcio. Tiam la voja integralo

$\int _{\gamma }f(z)\,dz$

povas esti difinita per subdividado de la intervalo [a, b] en a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b kaj konsideranta la esprimo

$\sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})).$

La integralo estas tiam la limigo de tiu sumo, ĉar la longoj de la subdividaj intervaloj proksimiĝas al nulo.

Se γ estas kontinue diferencialebla kurbo, la voja integralo povas esti komputita kiel integralo de funkcio de reela variablo:

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,dt.$

Kiam γ estas fermita kurbo, tio estas, ĝia komenca kaj fina punktoj koincidas, la notacio

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

estas ofte uzita por la voja integralo de f laŭ γ.

Gravaj (propozicioj, frazoj) pri vojaj integraloj estas la Koŝia integrala teoremo kaj Koŝia integrala formulo.

Pro la _residue_ teoremo, oni povas ofte uzi konturajn integralojn en la kompleksa ebeno por trovi integralojn de reel-valoraj funkcioj de reela variablo (vidu _residue_ teoremo por ekzemplo).

Ekzemplo

Konsideri la funkcio f(z)=1/z, kaj lasu, ke la konturo C estu la unuobla cirklo pri 0, kiu povas esti parametrigita per e^mit, kun t en [0, 2π]. Anstataŭigante, ni trovas

$\oint _{C}f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt$

$=i\int _{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i$

kiu povas esti ankaŭ kontrolita per la Koŝia integrala formulo.

Vektora kalkulo

En kvaltecaj (termoj, terminoj), voja integralo en vektora kalkulo povas esti penso de kiel mezuri de la efiki de donita vektora kampo laŭ donita kurbo.

Difino

Por iu skalara kampo f : Rⁿ → R, la vojo (aŭ linio) integralo sur kurbo C, parametrigita kiel r(t) kun t ∈ [a, b], estas difinita per

$\int _{C}f\ ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.$

Simile, por vektora kampo F : Rⁿ → Rⁿ, la voja integralo sur kurbo C, parametrigita kiel r(t) kun t ∈ [a, b], estas difinita per

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$

Voja sendependeco

Se vektora kampo F estas la gradiento de skalara kampo G, tio estas,

$\nabla G=\mathbf {F} ,$

tiam la derivaĵo de la komponaĵo de G kaj r(t) estas

${\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

kiu estas la integralato por la voja integralo de F sur r(t). Sekvas, ke donita vojo C , tiam

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).$

En vortoj, la integralo de F super C dependas nure de la valoroj de la punktoj r(b) kaj r(a) kaj estas tial sendependa de la vojo inter ilin.

Por ĉi tiu kaŭzo, vektora kampo kiu estas la gradiento de skalara kampo estas nomita vojo sendependa.

Aplikoj

La voja integralo havas multaj uzas en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo C ene forta kampo prezentita kiel vektora kampo F estas la voja integralo de F sur C.

Interrilato kun la voja integralo en kompleksa analitiko

Vidantaj kompleksaj nombroj kiel 2D-vektoroj, la voja integralo en 2D de vektora kampo korespondas al la reela parto de la voja integralo de la konjugita de la respektiva kompleksa funkcio de kompleksa variablo.

Pro al la Koŝio-Rimanaj ekvacioj la kirlo de la vektora kampo (korespondanta, respektiva) al la konjugita de holomorfa funkcio estas nulo. Tio (rilatas, rakontas) per Hejtas teoremo — ambaŭ tipoj de voja integralo estas nulo.

Kvantummekaniko

La "voja integrala formulaĵo" de kvantummekaniko reale signifas ne vojajn integralojn en ĉi tiu senco, sed (funkcionala, funkcia)jn integralojn, tio estas, integraloj super spaco de vojoj, de funkcio de ebla vojo. Tamen, vojaj integraloj en la senco de ĉi tiu artikolo estas grava en kvantummekaniko; ekzemple, kompleksa kontura integralado estas ofte uzata dum oni komputas probablo argumentoj, polusaj anguloj, amplitudoj)n en kvantumo verŝado teorio.

Vidi ankaŭ

• Manieroj de kontura integralado
• Teoremo de Nachbin
• Surfaca integralo
• Volumena integralo
• Teoremo de Hejtas
• Funkcionala integralado

Eksteraj ligoj

• Solvis problemojn pri vojaj integraloj