Teoremo de Rolle

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Bildo pri la teoremo de Rolle: y=f(x) estas kontinua en [a,b], derivebla en (a,b) kaj f(a) = f(b). Tiam, ekzistas c, kies derivaĵo nuliĝas.

En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo , tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo kaj , tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en kies derivaĵo nuliĝas, tio estas (krita punkto).

Formale: Estu Se estas kontinua en , derivebla en kaj tiam

Demonstro[redakti | redakti fonton]

Per teoremoj de Weierstrass kaj Fermat[redakti | redakti fonton]

Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos kaj ). Estas du kazoj:

  1. Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar , . Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj de la intervalo .
  2. Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto en la malfermita intervalo estas maksimumo, tio estas . Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto .

Per teoremo de Lagrange[redakti | redakti fonton]

Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo , . Se , la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.

Kontraŭekzemploj[redakti | redakti fonton]

Dua kontraŭekzemplo. La funkcio en la intervalo ne deriveblas en x = 0. La teoremo de Rolle ne estas valida.

La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:

  1. ne estas kontinua en .
  2. ne estasderivebla en .
  3. .


Ĝeneraligoj[redakti | redakti fonton]

Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]