Inversigebla elemento

En matematiko, inversigebla elemento en ringo estas elemento, kiu havas multiplikan inverson.

La sama nocio (kaj termino) estas aplikebla pli ĝenerale, por ĉia monoido. Tiam, ĉar la multiplika duongrupo de unuohava ringo estas monoido, inversigeblan elementon de ringo eblas difini kiel inversigeblan elementon de ĝia multiplika monoido.

La nociojn inverso kaj inversigebla elemento eblas ĝeneraligi por la duongrupoj.

Difino

Se $(R,+,0,\cdot ,1)$ estas ringo, la inverso de elemento $r$ estas tia elemento $s\in R$, ke

$r\cdot s=s\cdot r=1$.

Tia elemento estas unika, se ĝi ekzistas, kaj estas skribata $r^{-1}$.

Elemento, kies inverso ekzistas, estas inversigebla. Alivorte, s estas inversigebla elemento de la multiplika monoido de R.

En pluraj lingvoj, oni uzas la terminon unuo (angle unit, france unité, germane Einheit), sed ĉi tiu termino estas konfuza, ĉar ĝi estas ankaŭ kutime uzata por nomi la multiplikan neŭtralan elementon 1_R de la ringo R en esprimoj de la tipo ringo kun unuo (t.e. 1-hava ringo) kaj ankaŭ ekz. unuomatrico. (Tial iuj aŭtoroj nomas la elementon 1_R "unuaĵo", kaj diras, ke R estas "ringo kun unuaĵo" aŭ "1-hava ringo", sed ne "ringo kun unuo".)

Grupo de inversigeblaj elementoj

La inversigeblaj elementoj de R konsistigas grupon U(R) sub multipliko, kiu nomiĝas la grupo de iniversigeblaj elementoj de R. Por la grupo de universigeblaj elementoj U(R) oni kelkfoje uzas la notacion R^* aŭ R^×.

En komuta ringo R, la grupo de inversigeblaj elementoj U(R) agas sur R multiplike. La orbitoj de ĉi tiu ago estas nomataj aroj de asociitoj; alivorte, la rilato $\sim$ sur R (nomata asocieco) tia, ke

$r\sim s\iff \exists u\in R^{\times }\colon r=us$

estas ekvivalentrilato.

La grupo de inversigeblaj elementoj estas funktoro de la kategorio de ringoj al la kategorio de grupoj:

$(-)^{\times }\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Grup}$.

Ĉiu ringa homomorfio f : R → S difinas grupan homomorfion

U(f) : U(R) → U(S),

ĉar ringa homomorfio bildigas inversigeblajn elementojn al inversigeblaj elementoj. La ĉi-supra funktoro havas maldekstran adjunkton: la entjerkoeficienta grupa ringo

$G\mapsto \mathbb {Z} [G]$.

Ringo R estas korpo, se kaj nur se ĉiu nenula elemento estas inversigebla:

$R^{\times }=R\setminus \{0\}$.

Ekzemploj

• En la ringo de entjeroj $\mathbb {Z}$, la inversigeblaj elementoj estas ±1. La asociitoj estas paroj n kaj −n.
• Ĉiu radiko de unu estas inversigebla en ĉiu unuohava ringo R. (Se r estas radiko de unu, kaj rⁿ = 1, tiam r⁻¹ = r^{n − 1} estas ankaŭ ero de R per fermaĵo sub multipliko.) En algebra nombroteorio, la unua teoremo de Dirichlet montras la ekziston de multaj inversigeblaj elementoj en la ringoj de algebraj entjeroj. Ekzemple, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1.
• En la ringo $\operatorname {Mat} (n;K)$ de n×n kvadrataj matricoj super iu korpo $K$, la inversigeblaj elementoj estas precize la inversigeblaj matricoj.