Vektora produto

En matematiko, la vektora produto aŭ kruca produto estas operacio sur du vektoroj en tri-dimensia eŭklida spaco, rezulto de kiu estas la alia vektoro.

Kontraste, la skalara produto de du vektoroj estas skalaro.

La vektora produto estas difinita nur en tridimensioj (aǔ pli ol tri, vidu la lastan paragrafon). Algebra strukturo difinita per la vektora produto estas ne asocieca. Simile al la skalara produto, ĝi dependas de la metriko de eŭklida spaco. Malsimile al la skalara produto, ĝi dependas ankaŭ de la elekto de orientiĝo. Por ajnaj elektoj de orientiĝo, la vektora produto devas esti estimata NE kiel vektoro, sed kiel pseŭdovektoro.

Ilustraĵo de la vektora produto en respektivo al dekstra koordinatsistemo.

Difino

La vektora produto de du vektoroj a kaj b estas skribata kiel a × b. En tri-dimensia eŭklida spaco, kun dekstraj karteziaj koordinatoj, ĝi estas difinita kiel vektoro c kiu estas perpendikulara al ambaŭ a kaj b, kun direkto donita per la regulo de la tri fingroj kaj kun grandeco egala al la areo de la paralelogramo kiun la vektoroj generas.

La vektora produto estas donita per formulo

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {\hat {n}}

kie θ estas angulo inter a kaj b (0° ≤ θ ≤ 180°), a kaj b estas la grandecoj de vektoroj a kaj b, kaj $\mathbf {\hat {n}}$ estas unuobla vektoro perpendikulara al la ebeno enhavanta na a kaj b. Se vektoroj a kaj b estas samrekta (do la angulo θ inter ilin estas ĉu 0° aŭ 180°), la ebeno ne estas difinita, sed ĉi tio ne gravas ĉar tiam sin θ = 0 kaj la vektora produto de a kaj b estas la nula vektoro 0.

La direkto de la vektoro $\mathbf {\hat {n}}$ estas donita per la reguloj de la dekstra mano aǔ de la maldekstra mano (vidu la apudan bildon).

Proprecoj

Geometria signifo

La grandeco de la vektora produto povas esti interpretita kiel la sensigna areo de la paralelogramo havanta a kaj b kiel flankoj:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta .\,\!

Algebraj proprecoj

La vektora produto estas malkomuteca,

a × b = −b × a,

distribueca super adicio,

a × (b + c) = (a × b) + (a × c),

kaj kongrua kun skalara multipliko tiel ke

(r a) × b = a × (r b) = r (a × b).

Ĝi estas ne asocieca, sed verigas la jakobian identon:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Se a × b = a × c kaj a ≠ 0 ne nepre b = c:

Se a × b = a × c kaj a ≠ 0 tiam ni povas skribi:

(a × b) − (a × c) = 0 kaj, per la distribuebloregulo pli supre:

a × (b − c) = 0

Nun, se a estas paralelo al (b − c), tiam eĉ se a ≠ 0 ĝi eblas ke (b − c) ≠ 0 kaj pro tio b ≠ c.

Tamen, se a ≠ 0 kaj ambaŭ a · b = a · c kaj a × b = a × c, tiam oni povas konkludi ke b = c. Ja,

a . (b - c) = 0, kaj

a × (b - c) = 0

por ke b - c estas ambaŭ paralela kaj perpendikulara al la ne-nula vektoro a. Ĉi tiu eblas nur se b - c = 0.

La distribueco, lineareco kaj Jakobia idento donas ke R³ kaj ankaŭ vektora adicio kaj vektora produto formas alĝebron de Lie.

Du ne-nulaj vektoroj a kaj b estas paralelaj se kaj nur se a × b = 0.

Triopa produto

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Triopa produto.

La elvolvaĵo de triopa produto, ankaŭ sciata kiel formulo de Lagrange, estas formulo rilatanta al vektora produto de tri vektoroj, vektora triopa produto:

a × (b × c) = b(a · c) - c(a · b).

Speciala okazo, kun gradiento kiu estas uzata en vektora kalkulo, estas:

{\begin{matrix}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=&\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=&{\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplacian }}\mathbf {f} .\end{matrix}}

Ĉi tiu estas speciala okazo de la pli ĝenerala operatoro de Laplaco $\Delta =d\delta +\delta d$ .

Jena idento ankaŭ rilatas la vektora produto kaj la skalara produto:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}.

Vektora produto en karteziaj koordinatoj

Kvankam skribita ĉi tie en terminoj de koordinatoj, kiel sekvas el la geometria difino pli supre, la vektora produto estas invarianta sub turnadoj de la koordinatosistemo se la orientiĝo konserviĝas.

Se la akso de turnado estas paralela al a×b, ankaŭ la nombra rezulto de vektora produto en koordinatoj konserviĝas.

Skribmaniero kun apartaj koordinatoj

La unuoblaj vektoroj i, j, kaj k de la donita perpendikulara koordinatsistemo kontentigas jenon:

i × j = k j × k = i k × i = j.

Kun ĉi tiuj reguloj, la koordinatoj de la vektora produto de du vektoroj povas esti komputita facile, sen la bezono difini angulojn. Estu:

a = a₁i + a₂j + a₃k = (a₁, a₂, a₃)

kaj

b = b₁i + b₂j + b₃k = (b₁, b₂, b₃)

Do

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂) i + (a₃b₁ - a₁b₃) j + (a₁b₂ - a₂b₁) k = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Matrica skribmaniero

La skribmaniero kun apartaj koordinatoj povas ankaŭ esti skribita formale kiel la determinanto de matrico:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.

La determinanto de tri vektoroj povas esti reakirita kiel

det (a, b, c) = a · (b × c).

Konvertiĝo al matrica multipliko

Vektora produto de du vektoroj (kiu povas nur esti difinita en tri-dimensia spaco) povas esti reskribita en terminoj de pura matrica multipliko kiel la produto de kontraŭsimetria matrico kaj vektoro, kiel sekvas:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}

\mathbf {b} \times \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{T}[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}

kie

[\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}

ankaŭ se $\mathbf {a}$ estas rezulto de vektora produto:

\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d}

tiam

[\mathbf {a} ]_{\times }=(\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T})^{T}-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T}.

Ĉi tiu skribmaniero donas manieron de ĝeneraligado de vektora produto al la pli altaj dimensioj per anstataŭigo de pseŭdovektoroj (tiaj kiel angula rapido aŭ magneta kampo) per tiaj deklivo-simetriaj matricoj. Ĉi tiaj fizikaj kvantoj havas n(n-1)/2 sendependajn komponantojn en n dimensioj, kio koincidas kun kvanto de dimensioj por tri-dimensia spaco, kaj ĉi tio estas kial vektoroj povas esti uzataj por prezenti ĉi tiaj kvantoj en 3-dimensia fiziko.

De la ĝeneralaj propraĵoj de la vektora produto sekvas ke:

[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0}

kaj

\mathbf {a} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0}

kaj de tio ke $[\mathbf {a} ]_{\times }$ estas deklivo-simetria ĝi sekvas ke

\mathbf {b} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.

La formulo de Lagrange (vidu pli supre) povas esti pruvita uzante ĉi tiun skribmanieron.

La pli supra difino de $[\mathbf {a} ]_{\times }$ signifas ke estas dissurĵeto inter la aro de 3×3 deklivo-simetriaj matricoj (ankaŭ skribata kiel SO(3)), kaj la operacio de prenado la vektora produto kun iu vektoro $\mathbf {a}$ .

Aplikoj

La vektora produto okazas en la formulo por la vektora operatora kirlo. Ĝi estas ankaŭ uzita por priskribi la lorencan forton spertatan per movanta elektra ŝargo en magneta kampo. La difinoj de momanto (fiziko) kaj angula movokvanto ankaŭ enhavas la vektoran produton.

La vektora produto povas ankaŭ esti uzata por kalkuli la normalon por triangulo aŭ plurlatero, operacio ofte plenumata en komputila grafiko.

Por donita punkto p kaj linio tra a kaj b en ebeno, ĉiuj kun z koordinata nulo, z komponanto de (p-a) × (b-a) estas pozitiva aŭ negativa, depende de tio en kiu flanko de la linio p estas.

Vektora produto kaj dekstreco

Kiam mezureblaj kvantoj enhavas vektorajn produtojn, la dekstreco de la uzartaj koordinatsistemoj ne povas esti ajna. Tamen, kiam fizikaj leĝoj estas skribitaj kiel ekvacioj, devus ebli fari ajnan elekton de la koordinatsistemo (inkluzivante ajnan dekstrecon). Por eviti problemojn, oni devus singardi al neniam skribi ekvacion kie la du flankoj ne kondutas egale sub ĉiuj transformoj kiuj bezone estas konsiderataj. Ekzemple, se unu flanko de la ekvacio estas vektora produto de du vektoroj, oni devas konsideri ke kiam la dekstreco de la koordinatsistemo ne estas fiksita apriore, la rezulto estas ne (vera) vektoro sed pseŭdovektoro. Pro tio, por konsekvenco, la kateto devas ankaŭ esti pseŭdovektoro.

Pli ĝenerale, la rezulto de vektora produto povas esti ĉu vektoro aŭ pseŭdovektoro, dependanta de la specoj de ĝiaj argumentaj vektoroj aŭ pseŭdovektoroj:

vektoro × vektoro = pseŭdovektoro

vektoro × pseŭdovektoro = vektoro

pseŭdovektoro × pseŭdovektoro = pseŭdovektoro

Ĉar la vektora produto povas ankaŭ esti vera vektoro, ĝi povas ne ŝanĝi direkton kun spegula bilda transformo. Ĉi tiu okazas, laŭ la pli supre interrilatoj, se unu el la argumentoj estas (vera) vektoro kaj la alia unu estas pseŭdovektoro (e.g., la vektora produto de du vektoroj).

Ekzemploj

Ekzemplo 1

Estu du vektoroj a = (1,2,3) kaj b = (4,5,6). La vektora produto a × b estas

a × b = (1,2,3) × (4,5,6) = ((2 × 6 - 3 × 5),-(1 × 6 - 3 × 4),+(1 × 5 - 2 × 4)) = (-3,6,-3).

Ekzemplo 2

Estu du vektoroj a = (3,0,0) kaj b = (0,2,0). La vektora produto a × b estas

a × b = (3,0,0) × (0,2,0) = ((0 × 0 - 0 × 2), (0 × 0 - 3 × 0), (3 × 2 - 0 × 0)) = (0,0,6).

Ĉi tiu ekzemplo havas jenaj interpretadoj:

La areo de la paralelogramo (ortangulo en ĉi tiu okazo) estas 2 × 3 = 6.
La vektora produto de du vektoroj en la xy ebeno estos esti paralela al la z akso.
Pro tio ke) la z-komponanto de la rezulto estas pozitiva, la ne-malakuta angulo de a al b estas kontraŭhorloĝnadla, se observita de punkto sur la +z duonakso, se la koordinatsistemo estas dekstra.

Pli altaj dimensioj

Estas kelkaj vojoj al ĝeneraligi la vektora produto al la pli altaj dimensioj.

En la ĉirkaŭteksto de plurlineara alĝebro, eblas difini ĝeneraligitan vektoran produton en terminoj de pareco tiel ke la ĝeneraligita vektora produto de du vektoroj de dimensio n estas deklivo-simetria tensoro de rango n-2.

La aliaj eblecoj estas la sep-dimensia vektora produto kaj la ekstera produto en eksteraĵa alĝebro.