Turnado (matematiko)

En geometrio kaj lineara algebro, turnado estas transformo en ebeno aŭ en spaco, kiu priskribas la moviĝon de solido ĉirkaŭ fiksa punkto. Turnado estas malsama de movo, kiu ne havas fiksajn punktojn, kaj de reflekto. Turnado, movo kaj reflekto estas izometrioj; ili lasas la distancojn inter ĉiu du punktoj neŝanĝitajn post la transformo.

Estas grave scii la kadron de referenco en konsidero de turnadoj, ĉar ĉiuj turnadoj estas priskribitaj relative al aparta kadro de referenco. Ĝenerale por ĉiu perpendikulara transformo sur korpo en koordinatsistemo estas inversa transformo kiu se aplikita al la kadro de referenco rezultas en la korpo estanta je la samaj koordinatoj. Ekzemple en du dimensioj turnado de korpo laŭhorloĝnadle ĉirkaŭ punkto konservante la aksojn fiksitajn estas ekvivalenta al turnado de la aksoj kontraŭhorloĝnadle se la sama angulo ĉirkaŭ la sama punkto dum la korpo estas konservata fiksita.

Ortonormalaj matricoj

Koordinataj turnadoj en ĉiu n-dimensia spaco estas prezentataj per n×n ortonormalaj matricoj. Tiuj el la matricoj kiuj havas determinanton egalan al +1 priskribas proprajn turnadojn.

La aro de ĉiuj n×n ortonormalaj matricoj, kaj ankaŭ la operacio de matrica multipliko, formas la perpendikularan grupon O(n). La aro de ĉiuj n×n ortonormalaj matricoj kiu priskribas proprajn turnadojn, kaj ankaŭ la operacio de matrica multipliko, formas la specialan perpendikularan grupon SO(n) kiu estas subgrupo de O(n).

La n×n matrico estas membro de la n-dimensia speciala perpendikulara grupo SO(n) se ĝi estas ortonormala matrico kun determinanto 1. Tio ke ĝi estas ortonormala matrico signifas ke ĝiaj linioj estas aro de perpendikularaj unuoblaj vektoroj (tiel ili estas ortonormala bazo), la same estas ĉe ĝiaj kolumnoj. La determinanto devas esti 1. Se la determinanto estus -1 (la nura alia ebleco por ortonormala matrico) do la transformo donita per ĝi estas reflekto, nepropra turnado aŭ inversigo en punkto, kio ne estas turnado.

La matrico A estas multiplikata per kolumna situa vektoro x prezentanta la punkton por doni la rezulton x' :

x' = Ax

Matricoj estas ofte uzataj por prezento de transformoj, ĉar ili estas senperaj prezentoj de la linearaj operatoroj. La n×n matricoj jam povas prezenti ankaŭ reflektojn. La matricoj povas esti etenditaj por prezenti ankaŭ paralelajn movojn samtempe per homogenaj koordinatoj. Transformoj en ĉi tiu projekcia spaco estas prezentita per (n+1)×(n+1) matricoj, kiu ne estas turnadaj matricoj sed kiuj enhavas n×n turnadajn matricojn en la supra maldekstra angulo.

Ortonormalaj matricoj havas reelajn eroj. La analogaj komplekso-valoraj matricoj estas la unutaj matricoj. La aro de ĉiuj n×n unitaj matricoj formas unitan grupon de grado n, U(n); kaj la subgrupo de U(n) prezentanta proprajn turnadojn estas speciala unuargumenta grupo de grado n, SU(n).

La eroj de SU(2) estas uzataj en kvantuma mekaniko por turni spinon.

Du dimensioj

Ebena turnado ĉirkaŭ punkto sekvita per alia turnado ĉirkaŭ malsamaj punktaj rezultoj en tuteca moviĝo kiu estas turnado (kiel en ĉi tiu bildo), aŭ paralela movo

Reflekto kontraŭ akso sekvita per reflekto kontraŭ dua akso ne paralela al la unua rezultas en turnado ĉirkaŭ la punkto de intersekco de la aksoj

Nur sola angulo estas bezonata por precizigi turnadon en du dimensioj - la angulo de turnado.

Ĉi tie la turnado estas aganta por turni objekton kontraŭhorloĝnadle je donita angulo θ ĉirkaŭ la fonto.

Estu x kaj y koordinatoj de la punkto; do koordinatoj x' kaj y' de la punkto turnita je θ estas

x' = x cos(θ)-y sin(θ)

y' = x sin(θ)+y cos(θ)

kie la angulo estas konsiderata kiel pligrandiĝanta ekde pozitiva direkto de la x-akso al pozitiva direkto de la y-akso (kun valoro π/2 por ĉi tiu direkto) kaj plu.

Ankaŭ por kalkuli la turnadon du manieroj povas esti uzata, per matricoj aŭ per kompleksaj nombroj.

Turnadoj en du dimensioj estas komutaj (simile al multipliko de kompleksaj nombraj), malsimile al pli altaj dimensioj. Ili havu nur unu gradon de libereco, ĉar ĉi tiuj turnadoj estas plene difinitaj per unu variablo - la angulo de turnado.

Matrica algebro

La punkto (x, y) estu skribita kiel kolumna vektoro ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ . Multipliko de la vektoro per matrico kalkulita surbaze de la angulo θ donas la turnadon:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

La vektoroj ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ kaj ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$ havas la saman grandecon kaj estas apartigitaj per angulo θ.

Kompleksaj nombroj

Punktoj povas ankaŭ esti turnitaj uzantaj kompleksaj nombroj, kiel la aro de ĉiuj tiaj nombroj, la kompleksa ebeno, estas geometrie du dimensia ebeno. la punkto (x, y) sur la ebeno estas prezentita per la kompleksa nombro

z = x + iy

Tiam ĝi povas esti turnita je angulo θ per multipliko de ĝi per e^iθ. Kun elvolvado de la produto per eŭlera formulo ĝi estas:

{\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy'\end{aligned}}

kiu donas la samajn rezultojn por x' kaj y' kiel antaŭe,

Tri dimensioj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo SO(3).

Turnadoj en ordinara tri-dimensia spaco malsamas ol tiuj en du dimensioj en kelkaj gravaj propraĵoj. Turnadoj en tri dimensioj estas ĝenerale ne komutaj, kio estas ke la ordo en kiu la turnadoj estas aplikitaj estas grava. Ili havas tri gradojn de libereco.

Tri dimensia turnado povas esti precizigitaj en kelkaj manieroj. La plej kutimaj manieroj estas kiel sekvas.

Matrica algebro

La 3×3 matrico A estas membro de la tri dimensia speciala perpendikulara grupo SO(3), kio estas ke ĝi estas ortonormala matrico kun determinanto 1.

Kiel en du dimensioj, matrico povas esti uzata por turni punkton (x, y, z) al punkto (x', y', z'). La uzata matrico estas 3×3 matrico

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}

Ĉi tiu estas multiplikita per vektoro prezentanta la punkton por doni la rezulton

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}

La ĉefa malavantaĝo de matricoj estas ke ili estas pli multekostaj en komputado. Ankaŭ en komputoj kie cifereca stabileco estas en koncerno, matricoj povas bezoni aldonajn operaciojn, kiel ekzemple kalkuloj por restaŭri ortonormaleco, kiu estas multekosta por fari por matricoj kaj farendaj ofte.

Moveblaj kadraj turnadoj

Unu maniero de ĝeneraligo de la du-dimensia angulo de turnado estas precizigi tri turnadajn angulojn, aplikatajn laŭvice por turnadoj ĉirkaŭ la tri ĉefaj aksoj. Ili aparte povas esti nomataj kiel kursodeflankiĝo, tango, kaj volvo, sed en matematiko estas pli ofte sciataj kiel eŭleraj anguloj. Ili havi la avantaĝon de modelado de iuj fizikaj sistemoj kiel kardana pendigilo kaj stirstangoj, do tiel estas facile imageblaj, kaj estas tre kompakta maniero de prezento de turnado. Sed ili estas malfacilaj por uzi en kalkuloj ĉar eĉ simplaj operacioj kiel komponado de du turnadoj estas multekosta, kaj suferas de formo de kardana pendigilo ŝloso kie la anguloj ne povas esti unike kalkulitaj por certaj turnadoj.

Eŭleraj turnadoj

Eŭleraj turnadoj estas aro de tri turnadoj difinitaj kiel la movado ricevita per ŝanĝo de unu el la eŭleraj anguloj lasante la aliajn du konstantojn. Eŭleraj turnadoj estas neniam esprimitaj en terminoj de la ekstera kadro, aŭ en terminoj de la kun-movanta turnanta korpa kadro, sed en miksaĵo. Ili konsistigas sistemon de miksitajn aksojn de turnado, kie la unua angulo movas la linion de verticoj ĉirkaŭ la ekstera akso z, la dua turnas ĉirkaŭ la linio de verticoj kaj la tria estas apriora turnado ĉirkaŭ akso fiksita en la korpo kiu moviĝas.

Ĉi tiuj turnadoj estas nomataj kiel precesio, klino, kaj apriora turnado.

Aksa angulo

Maniero de ĝeneraligo de la du-dimensian angulon de turnado estas precizigi angulon kun la akso ĉirkaŭ kiu la turnado estas. Ĝi povas esti uzata por modeli moviĝo limigitan per ĉarniroj kaj aksoj, kaj do tiel estas facile imagebla, eble eĉ pli ol eŭleraj anguloj. Estas du manieroj prezenti ĝin:

kiel paro konsistanta el la angulo kaj unuobla vektoro por la akso;
kiel la turnada vektoro kiu estas vektoro ricevita per multipliko de la angulo kun ĉi tiu unuobla vektoro.

Kutime la angulo kaj aksa paro estas pli simplaj por labori kun ili, dum la turnada vektoro estas pli kompakta, postulanta nur tri nombrojn simile al eŭleraj anguloj. Sed simile al eŭleraj anguloj ĝi estas kutime konvertata al alia prezento antaŭ estas uzata.

Kvaternionoj

Kvaternionoj estas iu el manieroj de prezento de tri-dimensiaj turnadoj. Ili ne estas la tri dimensia apero de ĝenerala maniero, kiel estas matricoj. Ili ne estas facile rilatantaj al modeloj de reala mondo kiel estas eŭleraj anguloj aŭ aksaj anguloj. Sed ili estas pli kompaktaj ol matricoj kaj pli simplaj por laboro kun ili ol ĉiuj aliaj manieroj, do tiel estas ofte prefertaj en aplikoj.

Turnada kvaterniono konsistas el kvar reelaj nombroj, limigitaj tiel ke la longo de la kvaterniono konsiderata kiel vektoro estas 1. Ĉi tiu limigo limigas la kvanton de gradoj de libereco de la kvaterniono al tri, kiel estas postulite. Ĝi povas esti konsiderata kiel ĝeneraligo de la kompleksaj nombroj, per ekzemple la konstruado de Cayley-Dickson, kaj generas turnadojn en simila maniero per multipliko. Sed malsimile al matricoj kaj kompleksaj nombroj du multiplikoj estas bezonataj:

x' = qxq⁻¹

kie q estas la kvaterniono q⁻¹ estas ĝia inverso kaj x estas la vektoro traktata kiel kvaterniono. La kvaterniono povas esti rilatanta al la turnada vektoro formo de la aksa angula turnado per la eksponenta funkcia mapo super la kvaternionoj,

\mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2}

kie v estas la turnada vektoro traktata kiel kvaterniono.

Kvar dimensioj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo SO(4).

Ĝenerala turnado en kvar dimensioj havas nur unu fiksan punkton, la centron de turnado, sed ne havas turnadan akson. Anstataŭe la turnado havas du reciproke perpendikularajn ebenojn de turnado, ĉiu el kiuj estas fiksita en la senco ke punktoj en ĉiu el la ebenoj restas en la ebeno. La turnado havas du anguloj de turnado, po unu por ĉiu ebeno de turnado, tra kiuj punktoj en la ebenoj turniĝas. Se ĉi tiuj estas ω₁ kaj ω₂ tiam ĉiuj punktoj ne en la ebenoj turniĝas je anguloj inter ω₁ kaj ω₂.

Se ω₁=ω₂ do la turnado estas duopa turnado kaj ĉiuj punktoj turniĝas je la sama angulo tiel ĉiuj du perpendikularaj ebenoj povas esti prenitaj kiel la ebenoj de turnado. Se unu el ω₁ kaj ω₂ estas nulo do unu ebeno estas fiksita kaj la turnado estas simpla. Se ambaŭ ω₁ kaj ω₂ estas nuloj do la turnado estas la identa turnado (identa transformo).

Turnadoj en kvar dimensioj havas 6 gradojn de libereco.

Turnadoj en kvar dimensioj povas esti prezentitaj per 4×4 ortonormalaj matricoj, kiel ĝeneraligo de la 3-dimensiaj turnadaj matricoj. Kvaternionoj povas ankaŭ esti ĝeneraligitaj en kvar dimensioj, kiel paraj plurvektoroj de la kvar-dimensia geometria algebro. Tria maniero, kiu nur laboroj en kvar dimensioj, estas per paro de unuoblaj kvaternionoj.

Relativeco

Speciala okazo de 4-dimensia turnado estas speciala teorio de relativeco, ĉar ĝi povas esti konsiderata kiel operacianta en 4-dimensia spaco, spactempo, generita per tri spacaj dimensioj kaj unu tempa. En speciala teorio de relativeco ĉi tiu spaco estas lineara.

Tamen la spacaj kaj tempa dimensioj estas konsiderataj kiel malsamaj, tiel la turnadoj en la spaco ĝenerale malsamas de tiuj enhavataj en la grupo SO(4) de turnadoj en spaco kie ĉiuj 4 dimensioj estas de la samaj propraĵoj. La specialaj 4-dimensiaj turnadoj, nomataj kiel lorencaj transformoj, havas fizikajn ekzegezojn. La aro de ĉi tiuj turnadoj formas la lorencan grupon.

Se simpla turnado estas nur en la 3 spacaj dimensioj, kio estas ĉirkaŭ ebeno kiu estas tute en spaco, tiam ĉi tiu turnado estas la sama kiel spaca turnado en 3 dimensioj. Sed simpla turnado ĉirkaŭ ebeno generita per spaca dimensio kaj tempa dimensio estas "subteno", kiu malsamas de la spaca turnado.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Kategorio Turnado (matematiko) en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

Turnado ĉirkaŭ punkto