Alef-nombro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Alef-0, simbolo de la plej malgranda malfinia kardinalo

En aroteorio, la alef-nombroj estas vico de nombroj kiuj prezentas la kardinalojn (la ampleksojn) de malfiniaj aroj. Ili estas nomataj laŭ la simbolo uzata por signifi ilin, la hebrea litero alef (\aleph).

La kardinalo de la naturaj nombroj estas \aleph_0, la sekva pli granda kardinalo estas alef-unu \aleph_1, la sekva estas \aleph_2 kaj tiel plu. Daŭrante en ĉi tiu maniero, eblas difini kardinalon \aleph_\alpha por ĉiu orda numero α, kiel estas priskribite pli sube.

La alef-nombroj malsamas de la malfinio (∞) kutime aperanta en algebro kaj kalkulo. Alef-nombroj mezuras la ampleksoj de aroj; malfinio, aliflanke, estas kutime difinita kiel (ege, ekstremuma) limigo de la reela nombra linio (aplikita al funkciovico kiu malkonverĝas al malfinio aŭ pligrandiĝas sen baro), aŭ la ekstremuma punkto de la etendita reela nombra linio.

La koncepto fontas de Georg Cantor, kiu difinis la komprenaĵon de kardinalo kaj komprenis ke malfiniaj aroj povas havi malsamajn kardinalojn.

Alef-nulo[redakti | redakti fonton]

\aleph_0 estas la kardinalo de la aro de ĉiuj naturaj nombroj, kaj estas la unua transfinia kardinalo. Aro havas kardinalon \aleph_0 se kaj nur se ĝi estas kalkulebla malfinio, kio estas se kaj nur se ĝi povas esti metita en reciproke unuvalora surĵeto kun la naturaj nombroj. Ĉiuj tiaj aroj inkluzivas la aron de ĉiuj primoj, la aron de ĉiuj entjeroj, la aron de ĉiuj racionalaj nombroj, la aron de algebraj nombroj, la aron de ĉiuj finiaj subaroj de ĉiu kalkuleble malfinia aro.

Se la aksiomo de elekto veras, aŭ eĉ se aksiomo de kalkulebla elekto (pli malforta versio de la aksiomo de elekto) veras, do \aleph_0 estas pli malgranda ol ĉiu la alia malfinia kardinalo.

Alef-unu[redakti | redakti fonton]

\aleph_1 estas la kardinalo de la aro de ĉiuj kalkuleblaj ordaj numeroj, nomata kiel ω1Ω. Ĉi tiu ω1 estas mem orda numero pli granda ol ĉiuj kalkuleblaj ordaj numeroj, tiel ĝi estas nekalkulebla aro. Pro tio \aleph_1 estas malsama de \aleph_0. La difino de \aleph_1 implicas (en ZF (aroteorio de Zermelo-Fraenkel) eĉ sen la aksiomo de elekto (AC)) ke neniu kardinalo estas inter \aleph_0 kaj \aleph_1. Se la aksiomo de elekto estas uzata, povas esti plu pruvite ke la klaso de kardinaloj estas tutece ordita, kaj tial \aleph_1 estas la dua plej malgranda malfinia kardinalo. Uzante AC ni povas montri unuon el la plej utilaj propraĵoj de la aro Ω: ĉiu kalkulebla subaro de Ω havas superan baron en Ω. Ĉi tio sekvas el tio ke kalkulebla unio de kalkuleblaj aroj estas kalkulebla, unu el la plej komunaj aplikoj de AC. Ĉi tiu fakto estas analoga al la situacio kun \aleph_0: ĉiu finia aro de naturaj nombroj havas maksimumon kiu estas ankaŭ natura nombro; tio estas, finia kunaĵo de finiaj aroj estas finia.

Ω estas reale utila koncepto, kvankam ekzotike sonanta. Ekzempla apliko estas la fermado kun respekto al kalkuleblaj operacioj; ekzemple, provo eksplicite priskribi la σ-algebron generitan per ajna kolekto de subaroj. Ĉi tio estas pli peza ol plej eksplicitaj priskriboj de "generacio" en algebro (vektoraj spacoj, grupoj, kaj tiel plu) ĉar en tiuj okazoj oni nur devas fermi kun respekto al finiaj operacioj - sumoj, produtoj, kaj la similaj. La procezo engaĝas difinadon, por ĉiu kalkulebla orda numero, tra transfinia indukto, de aro per "ĵetado en" de ĉiuj eblaj kalkuleblaj kunaĵoj kaj komplementoj, kaj preno de unio de ĉi ĉiuj super ĉiuj el Ω.

Kontinuaĵa hipotezo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Kontinuaĵa hipotezo.

La kardinalo de la aro de reelaj nombroj (kardinalo de kontinuaĵo) estas 2^{\aleph_0}. Estas ne klare kie ĉi tiu nombro estas en la alef-nombra hierarkio. El aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto (ZFC) sekvas ke la kontinuaĵa hipotezo (CH) estas ekvivalento al la idento

2^{\aleph_0}=\aleph_1

CH estas sendependa de ZFC, kio estas ke CH povas esti nek pruvita nek malpruvita en la ĉirkaŭteksto de ZFC.

Alef-ω[redakti | redakti fonton]

Kutime la plej malgranda malfinia orda numero estas signifata kiel ω, kaj la kardinalo \aleph_\omega estas la plej malgranda supera baro de

\left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0, 1, 2, \dots\,\right\}\,\right\}

Alef-ω estas la unua nekalkulebla kardinalo kiu povas esti demonstraciita en aroteorio de Zermelo-Fraenkel aroteorio al esti ne egala al la kardinalo de la aro de ĉiuj reelaj nombroj; por ĉiu pozitiva entjero n oni povas konsekvence alpreni ke 2^{\aleph_0} = \aleph_n, kaj ankaŭ eblas alpreni ke 2^{\aleph_0} estas tiel granda kiel oni ŝatas. Oni tamen devas eviti variantoj de egaleco de ĝi al certaj specialaj kardinaloj kun kunfinio \aleph_0, kio estas nebarita funkcio de \aleph_0 al ĝi.

Alef-α por ĝenerala α[redakti | redakti fonton]

Por difini \aleph_\alpha por ajna orda numero α, oni devas difini la postantan kardinalan operacion, kiu asignas al ĉiu kardinalo ρ la sekvan pli grandan bonordan kardinalon ρ+. Se la aksiomo de elekto veras, ĉi tiu estas la sekva pli granda kardinalo.

Oni povas tiam difini la alef-nombrojn kiel

\aleph_{0} = \omega
\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+

kaj por λ, malfinia limiga orda numero,

\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta

La α-a malfinia komenca orda numero estas skribata kiel \omega_\alpha. Ĝia kardinalo estas skribata kiel \aleph_\alpha.

En ZFC la \aleph-funkcio (alef-funkcio) estas reciproke unuvalora surĵeto inter la ordaj numeroj kaj la malfiniaj kardinaloj.

Fiksaj punktoj de alef-funkcio[redakti | redakti fonton]

Por ĉiu orda numero α

\alpha\leq\aleph_\alpha

En multaj okazoj \aleph_{\alpha} estas severe pli granda ol α. Ekzemple, por ĉiu postanta orda numero α ĉi tio veras. Ekzistas, tamen, iuj limigaj ordaj numeroj kiu estas fiksaj punktoj de la alef-funkcio, pro la fiksopunkta lemo por normalaj funkcioj. La unua ĉi tia estas la limigo de la vico

\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}},\ldots

Ĉiu malforte nealirebla kardinalo estas ankaŭ fiksa punkto de la alef-funkcio.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]