Rubando de Möbius

Rubando de Möbius farita el papero

En matematiko, la rubando de Möbius estas certa 2-dimensia dukto, tio estas, surfaco. Ĝi estas kompakta kaj ne-orientebla (sen malsamaj ena kaj ekstera flankoj) kun unu rando.

Ĝia eŭlera karakterizo estas 0.

Aliaj rilatantaj ne-orienteblaj objektoj estas la botelo de Klein kaj la reela projekcia ebeno. Rilatantaj orienteblaj objektoj estas cilindro, sfero kaj toro. Rubando de Möbius kaj cilindro estas du dimensiaj surfacoj kun rando; botelo de Klein, reela projekcia ebeno, sfero kaj toro ne havas randon.

La figuro estas nomata laŭ matematikisto kaj astronomo August Ferdinand Möbius el Leipzig kiu en 1858 malkovris la figuron. Pli malpli samtempe, sed sendepende de Möbius la matematikisto kaj fizikisto Johann Benedict Listing el Göttingen ankaŭ malkovris la bendon.

Modelo de rubando de Möbius povas facile esti kreita per preno de papera rubando kaj gluo ĝin en ringon kun tordo de unu fino je duono de la plena cirklo (180 gradoj). En eŭklida spaco estas fakte du specoj de rubandoj de Möbius ekzistas dependante de la direkto de la tordo - laŭhorloĝnadla kaj kontraŭhorloĝnadla. La rubando de Möbius estas pro tio nememspegulsimetria.

Topologia konstruado [redakti]

Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Rubando de Möbius estas priskribata kiel unuobla kvadrato ( [0,1] × [0,1] ) kun flankoj identigitaj per la rilatoj:

(x, 0) ~ (1-x, 1) por 0 ≤ x ≤ 1

Ĉi tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de la rubando de Möbius.

Sfero	Cilindra surfaco	Rubando de Möbius
Toro	Botelo de Klein	Reela projekcia ebeno

Notu ke ĉi tio estas abstrakta gluado en topologia senco, por reala konstruado bezonatas longa mallarĝa rubando kaj ne kvadrato.

Geometrio kaj topologio [redakti]

Parametra grafika prezento de rubando de Möbius

Eblas prezenti la rubandon de Möbius en tri-dimensia eŭklida spaco per jena parametrigo:

$x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)$

$y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)$

$z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}$

kie 0 ≤ u < 2π kaj -1 ≤ v ≤ 1. Ĉi tio kreas rubandon de Möbius de larĝo 1 kies centra cirklo havas radiuson 1, kuŝas en la xy ebeno kaj estas centrita je (0,0,0). La parametro u kuras ĉirkaŭ la rubando kaj v movas de unu rando al la alia.

En cilindraj polusaj koordinatoj (r,θ,z), nebarita versio de la rubando de Möbius povas esti prezentita per la ekvacio:

$\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).$

La rando de rubando de Möbius estas topologie ekvivalento al la cirklo. En la kutimaj enigoj de la rubando en Eŭklida spaco, kiel pli supre, ĉi tiu rando estas ne ordinara ebena cirklo. Tamen eblas al enigi rubando de Möbius en tri-dimensiojn tiel ke la rando estu cirklo, kaj la rezultanta figuro estas nomita kiel sudana rubando de Möbius.

Por vidi ĉi tion, unue konsideru enigon en la 3-sferon S⁴ konsideratan kiel subaro de R⁴. Parametrigo por ĉi tiu enigo estas

$z_1 = \sin\eta\,e^{i\phi}$

$z_2 = \cos\eta\,e^{i\phi/2}.$

Ĉi tie estas uzata kompleksa skribmaniero kaj R⁴ estas kiel C². La parametro $\eta$ kuras ekde 0 al π kaj $\phi$ kuras ekde 0 al 2π. Pro tio ke $|z_1|^2 + |z_2|^2 = 1$ la enigita surfaco kuŝas tute sur S³. La rando de la rubando estas donita per $|z_2| = 1$ (respektiva al $\eta = 0,\pi$ ), kiu estas klare cirklo sur la 3-sfero.

Por ricevi enigo de la rubando de Möbius en R³ mapu S³ al R³ per rektlinia sfera projekcio. La projekcia punkto povas esti ĉiu punkto sur S³ kiu ne kuŝas sur la enigita rubando de Möbius (ĉi tio malebligas kutimajn projekciajn punktojn). Rektliniaj sferaj projekciaj mapaj cirkloj al cirkloj kaj konservas la cirklan randon de la rubando. La rezulto estas glata enigo de rubando de Möbius en R³ kun cirkla rando kaj ne sinsekcanta.