Ringa homomorfio

En ringo-teorio, ringa homomorfio estas funkcio inter du ringoj konservanta la algebran strukturon (adicion kaj multiplikon) de la ringoj.

Difino

Se $(R,0_{R},+,\cdot )$ kaj $(S,0_{S},+,\cdot )$ estas ringoj, tiam homomorfio de $R$ al $S$ estas funkcio $f\colon R\to S$ plenumanta la jenajn aksiomojn:

• $f\colon (R,0_{R},+)\to (S,0_{S},+)$ estas grupa homomorfio inter komutaj grupoj. Alivorte, $f(r+r')=f(r)+f(r')$ por iuj ajn $r,r'\in R$. (Aŭtomate, do, $f(0_{R})=0_{S}$, kaj $f(-r)=-f(r)$.)
• $f\colon (R,\cdot )\to (S,\cdot )$ estas homomorfio inter duongrupoj. Alivorte, $f(r\cdot r')=f(r)\cdot f(r')$ por iuj ajn $r,r'\in R$.

En la kunteksto de unuohavaj ringoj oni ofte aldonas la postulon ke la funkcio ankaŭ konservu la unuon (t.e. multiplikan neŭtralan elementon). Pli detale:

Se $(R,0_{R},+,1_{R},\cdot )$ kaj $(S,0_{S},+,1_{S},\cdot )$ estas unuohavaj ringoj, homomorfio de $R$ al $S$ estas funkcio $f:R\to S$ plenumanta la du suprajn aksiomojn kaj aldone:

• La bildo de unuo estu unuo, t.e. $f(1_{R})=1_{S}$.

Ekzemploj

Por iu ringo R, estu

$f:R\to R^{2\times 2}$

$r\mapsto f(r)={\begin{bmatrix}r&0\\0&0\end{bmatrix}}$

Tiam $f$ plenumas la unuajn du postulojn por ringa homomorfio, sed

$f(1_{R})={\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&0\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&1_{R}\end{bmatrix}}=1_{R^{2\times 2}}$

do la bildo de la unuo en $R$ ne estas la unuo en $R^{2\times 2}$, kaj $f$ ne estas homomorfio de unuohavaj ringoj.

Alia funkcio

$g:R\to R^{2\times 2}$

$r\mapsto g(r)={\begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}}$

plenumas la unuajn du postulojn por ringa homomorfio, kaj ankaŭ

$g(1_{R})={\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&1_{R}\end{bmatrix}}=1_{R^{2\times 2}}$

do $g$ estas homomorfio de unuohavaj ringoj.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Ring homomorphism en MathWorld.