Inversiga formulo de Möbius

En matematiko, inversiga formulo de Möbius estas formulo por rea kalkulo de la fonta nombra vico. Ĝi estas uzata en nombroteorio.

Ĝi estas nomita en honoro de germana matematikisto August Ferdinand Möbius, kiu la unua prezentis ĝin.

Se g(n) kaj f(n) estas aritmetikaj funkcioj tiaj ke g estas donita per f kiel

$g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)$ por ĉiu entjero n≥1

kie la sumo estas tra ĉiuj pozitivaj divizoroj d de n, tiam la originala f(n) povas esti kalkulita per g(n) per la inversiga formulo:

$f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g(n/d)$ por ĉiu entjero n≥1

kie μ estas la funkcio de Möbius.

En la lingvo de kunfaldaĵo de Dirichlet, la unua formulo povas esti skribita kiel

g=f*1

kie * signifas la kunfaldaĵon de Dirichlet kaj 1 estas la konstanta funkcio 1(n)=1. La dua formulo estas tiam skribata kiel

f=g*μ

Ripetitaj transformoj

Por donita aritmetika funkcio, oni povas generi dudirekte malfinian vicon de la aliaj aritmetikaj funkcioj per multfoja apliko de la sumado.

Ekzemple, se starti de la eŭlera φ funkcio kaj multfoje aplikas la transforman procezon, rezultiĝas:

• φ - la fonta funkcio
• φ*1 = Id kie Id(n)=n estas la identa funkcio
• Id*1 = σ, la dividanta funkcio

Se starti de la funkcio de Möbius mem, la listo de funkcioj estas:

• μ, la funkcio de Möbius
• μ*1 = ε kie $\epsilon (n)={\begin{cases}1,&{\mbox{se }}n=1\\0,&{\mbox{se }}n>1\end{cases}}$ estas la unuobla funkcio
• ε*1 = 1, la konstanta funkcio
• 1*1=τ, kie τ estas kvanto de divizoroj de n (vidu en dividanta funkcio)

Ambaŭ el ĉi tiuj listoj de funkcioj etendas malfinie en ambaŭ direktoj. La inversiga formulo ebligas rean trairon de ĉi tiuj listoj. La generitaj vicoj povas eble esti pli facile komprenitaj per konsidero de la respektiva serio de Dirichlet: ĉiu ripetita apliko de la konverto respektivas al multipliko per la rimana ζ funkcio.

Ĝeneraligoj

Ekvivalenta formulaĵo de la inversiga formulo pli utila en kombinatoriko estas sekva. Estu F(x) kaj G(x) komplekso-valoraj funkcioj difinitaj sur la intervalo [1, ∞) tiaj ke

$G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}F(x/n)$ por ĉiu x≥1

tiam

$F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)G(x/n)$ por ĉiu x≥1

kie la sumoj estas tra ĉiuj pozitivaj entjeroj n kiu estas malpli grandaj ol aŭ egalaj al x.

Ĉi tiu laŭvice estas speciala okazo de pli ĝenerala formulo. Se α(n) estas aritmetika funkcio havanta inverson de Dirichlet α⁻¹(n) kaj

$G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\alpha (n)F(x/n)$ por ĉiu x≥1

tiam

$F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\alpha ^{-1}(n)G(x/n)$ por ĉiu x≥1

La antaŭa formulo estas la speciala okazo de la konstanta funkcio α(n)=1, kies inverso de Dirichlet estas $\alpha ^{-1}(n)=\mu (n)$.

Multiplika skribmaniero

La inversigo de Möbius povas esti aplikata al ĉiu komuta grupo, tiel ne gravas ĉu la grupa operacio estas skribita kiel adicio aŭ kiel multipliko. Ĉi tiu donas la sekvan varianton de la inversiga formulo. Se

$F(n)=\prod _{d|n}f(d)$

do

$f(n)=\prod _{d|n}F(n/d)^{\mu (d)}$

Vidu ankaŭ

• Funkcio de Möbius
• Serio de Lambert