Plurlineara funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro, plurlineara funkcio estas funkcio de kelkaj variabloj kiu estas lineara je ĉiu el la variabloj.

Plurlineara mapo de n variabloj estas ankaŭ nomata kiel n-lineara bildigo.

Se ĉiuj variabloj apartenas la sama spaco, povas esti konsiderata simetria, malsimetria kaj alterna n-linearaj mapoj. La lastaj du koincidas se la ringo (aŭ kampo) havas karakterizon malsama de du, aliokaze la unuaj du koincidas.

Ĝenerala diskuto de ĉi tiuj funkcioj estas je plurlineara algebro.

Subspecoj[redakti | redakti fonton]

Plurlineara funkcio estas simetria se ĝia valoro ne ŝanĝiĝas se interŝanĝi iuj ajn argumentojn de la funkcio

f(x_1,\dots, x_n) = f(x_1,\dots, x_{i-1}, x_j, x_{i+1},\dots, x_{j-1}, x_i, x_{j+1}, \dots, x_n)

Plurlineara funkcio estas deklivo-simetriamalsimetria se ĝia valoro ŝanĝas sian signumon se interŝanĝi iuj ajn du argumentojn de la funkcio

f(x_1,\dots, x_n) = -f(x_1,\dots, x_{i-1}, x_j, x_{i+1},\dots, x_{j-1}, x_i, x_{j+1}, \dots, x_n)

Plurlineara funkcio estas alterna se

[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_n)=0

Alivorte ĝi valoro estas 0 se inter la argumentoj estas almenaŭ du la samaj

f(..., v, ..., v, ...) = 0

Sekve de ĉi tio, valoro f(v1, ...,vn) de alterna plurlineara funkcio de estas 0 se ĝi argumentoj vi estas ne lineare sendependaj.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Plurlinearaj funkcioj sur kvadrataj matricoj[redakti | redakti fonton]

Oni povas konsideri plurlinearajn funkciojn, sur n×n kvadrata matrico super komuta ringo K kun idento, kiel funkcio de la linioj (aŭ ekvivalente de la kolumnoj) de la matrico. Estu A ĉi tia matrico kaj ai, 1 ≤ i ≤ n estu la linioj de A. Tiam la plurlineara funkcio D povas esti skribita kiel

D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n})

tia ke

D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n})

Se εj estas la j-a linio de la identa matrico, oni povas esprimi ĉiun linion ai kiel sumo

a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i, j)\varepsilon_{j}

Uzante ĉi tiun esprimon por a1 la _multilinearity_ de D la D(A) povas esti skribita kiel

 D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(1, j)\varepsilon_{j}, a_2, \ldots, a_n\right) = \sum_{j=1}^n A(1, j) D(\varepsilon_{j},a_2,\ldots,a_n)

Plu faranta ĉi tiun anstataŭon por ĉiu a_i rezultas

 D(A) = \sum_{k_1=1}^n \sum_{k_2=1}^n \dots \sum_{k_n=1}^n A(1,k_1)A(2,k_2)\dots A(n,k_n) D(\varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}})

Tiel D(A) estas plene difinita per tio kiel D operacias sur \varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}}.

Ĉe 2×2 matricoj estas


D(A) = A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon_1,\varepsilon_1) +
A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon_1,\varepsilon_2) +
A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon_2,\varepsilon_1) +
A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon_2,\varepsilon_2)

Kie ε1 = [1, 0] kaj ε2 = [0,1]. Se D estas alterna funkcio tiam D(ε1, ε1) = D(ε2, ε2) = 0 kaj D(ε1, ε2) = -D(ε2 , ε1) = D(I). Se D(I) = 1 rezultas la determinanta funkcio sur 2×2 matricoj:

D(A) = A1, 1 A2, 2 - A1, 2 A2, 1

Kontinueco[redakti | redakti fonton]

Se la valoro kaj la argumentoj vi de plurlineara funkcio f(v1, ...,vn) estas eroj de spaco kun normo, do eblas uzi difinon de kontinueco de f.

Tiam f estas kontinua se kaj nur se estas tia M>0 ke por ĉiu kolekto de la argumentoj (v1, ...,vn)

||f(v1, ...,vn)|| ≤ M ||v1|| ··· ||vn)||

kie en la dekstra flanko estas produto.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Plurlineara mapo havas valoro de nulo ĉiam se unu el ĝiaj argumentoj estas nulo.

Por n>1, la sola n-lineara bildigo kiu estas ankaŭ lineara bildigo estas la nula funkcio.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]