Asocieca alĝebro

Ĉi tiu artikolo estas pri aparta speco de vektora spaco. Por aliaj uzadoj de la termino "algebro" vidu: algebro (apartigilo).

En matematiko, asocieca algebro estas vektora spaco (aŭ pli ĝenerale, modulo (modela teorio)) kiu ankaŭ permesas la multiplikon de vektoroj en distribueca kaj asocieca maniero. Ili estas tial specialaj algebroj. (Kelkfoje nomataj "alĝebro" aŭ "algebrao" anstataŭ "algebro".)

Difino

Asocieca algebro A super kampo K estas difinita kiel vektora spaco super K kaj ankaŭ K-dulineara multipliko A x A → A (kie la bildo de (x,y) estas skribita kiel xy) tia, ke la asocieca leĝo validas:

• (x y) z = x (y z) por ĉiuj x, y kaj z en A.

La dulineareco de la multipliko povas esti esprimita kiel

• (x + y) z = x z + y z    por ĉiuj x, y, z en A,
• x (y + z) = x y + x z    por ĉiuj x, y, z en A,
• a (x y) = (a x) y = x (a y)    por ĉiuj x, y en A kaj a en K.

Se A enhavas identan eron, kio estas ero 1 tia ke 1x = x1 = x por ĉiuj x en A, tiam A estas asocieca algebro kun unu aŭ unuohava aŭ unuargumenta asocieca algebro. Tia algebro estas ringo, kaj enhavas ĉiujn erojn a de la kampo K per identigo kun a1.

La antaŭvenanta difino ĝeneraliĝas sen iu ajn ŝanĝo al algebro super komuta ringo K (escepte, ke K-lineara spaco estas tiam nomita modulo (modela teorio) kaj ne vektora spaco). Vidu algebro (ringa teorio) por pli.

La dimensio de la asocieca algebro A super la kampo K estas ĝia dimensio kiel K-vektora spaco.

Ekzemploj

• La n-per-n kvadrataj matricoj kun elementoj de la kampo K formas unuargumentan asociecan algebron super K.
• La kompleksaj nombroj formas 2-dimensian unuargumentan asociecan algebron super la reelaj nombroj.
• La kvaternionoj formas 4-dimensian unuargumentan asociecan algebron super la reelaj nombroj (sed ne algebro super la kompleksaj nombroj, ĉar kompleksaj nombroj ne komutiĝas kun kvaternionoj).
• La polinomoj kun reelaj koeficientoj formas unuargumentan asociecan algebron super la reelaj nombroj.
• Por donita iun ajn banaĥa spaco X, la kontinuaj linearaj operatoroj A : X → X formas unuargumentan asociecan algebron (uzante komponaĵo de operatoroj kiel multipliko); ĉi tio estas banaĥa algebro.
• Por donita iun ajn topologia spaco X, la kontinua reelo-valoraj (aŭ komplekso-valoraj) funkcioj sur X formas reelan (aŭ kompleksan) unuargumentan asociecan algebron; ĉi tie oni adiciu kaj multipliku funkciojn punktlarĝe.
• Ekzemplo de ne-unuargumenta asocieca algebro estas tiu donita per la aro de ĉiuj funkcioj f: R → R kies limigo kiam x proksimiĝas malfinion estas nulo.
• La algebroj de Clifford estas utilaj en geometrio kaj fiziko.
• _Incidence_ algebroj de loke finia parte ordaj aroj estas unuargumentaj asociecaj algebroj konsideritaj en kombinatoriko.

Algebraj homomorfioj

Se A kaj B estas asociecaj algebroj super la sama kampo K, algebra homomorfio h: A → B estas K-lineara surĵeto kiu estas ankaŭ multiplika en la senco, ke h(xy) = h(x) h(y) por ĉiuj x, y en A. Kun ĉi tiu nocio de strukturkonservanta transformo, la klaso de ĉiuj asociecaj algebroj super K iĝas kategoriojn.

Prenu ekzemple la algebron A de ĉiuj reel-valoraj kontinuaj funkcioj R → R, kaj B = R. Ambaŭ estas algebroj super R, kaj la mapo kiu asignas al ĉiu kontinua funkcio f la nombron f(0) estas algebra homomorfio de A al B.

Indekso-libera skribmaniero

En la pli supre difino de asocieca algebro, la difino de asocieco estis farita kun pritakso al ĉiuj eroj de A. Estas fojfoje pli oportune havi difinon de asocieco, en kiu ne bezonas mencii la erojn de A. Tio povas esti farita kiel sekvas. Algebro estas difinita kiel mapo M (multipliko) sur vektora spaco A:

$M:A\times A\rightarrow A$

Asocieca algebro estas algebro kie la mapo M havas la propraĵon

$M\circ ({\mbox{Id}}\times M)=M\circ (M\times {\mbox{Id}})$

Ĉi tie, la simbolo $\circ$ signifas funkcian komponaĵon, kaj Id estas la identa surĵeto: Id(x)=x por ĉiuj x en A. Por vidi la ekvivalenton de la difinoj, bezonatas nur kompreni, ke ĉiu flanko de la pli supre ekvacio estas funkcio, kiu prenas tri argumentojn. Ekzemple, la maldekstra flanko funkcias kiel

$(M\circ ({\mbox{Id}}\times M))(x,y,z)=M(x,M(y,z))$

Simile, unuohava asocieca algebro povas esti difinita pere de unita mapo

$\eta :K\rightarrow A$

kiu havas la propraĵon

$M\circ ({\mbox{Id}}\times \eta )=s=M\circ (\eta \times {\mbox{Id}})$

Ĉi tie, la unua mapo Η prenas ero k en K al la ero k1 en A, kie 1 estas la unua ero de A. La mapo s estas nur simple skalara multipliko: $s:K\times A\rightarrow A$; tial, la pli supre idento estas iam skribita kun Id staranta en la loko de s, kun skalara multipliko estante implice komprenita.

Ĝeneraligoj

Oni povas konsideri asociecajn algebrojn super komuta ringo R: ĉi tiuj estas moduloj super R kaj ankaŭ R-dulineara mapa kiu produktas asociecan multiplikon. En tiu kazo, _unital_ R-algebro A povas ekvivalente esti difinita kiel ringo A kun ringa homomorfio R→A.

La n-per-n matricoj kun entjeraj elementoj formas asociecan algebron super la entjeroj kaj la polinomoj kun koeficientoj en la ringo Z/nZ (vidu modula aritmetiko) formas asociecan algebron super Z/nZ.

Kunalgebro

Asocieca unuargumenta algebro super K estas bazita sur strukturkonservanta transformo A×A→A havanta 2 enigojn) (multiplikanto kaj multiplikato) kaj unu eligi (produto), kaj ankaŭ strukturkonservanta transformo K→A identiganta la skalaraj oblojn de la multiplika idento. Tiuj du strukturkonservantaj transformoj povas esti dualigitaj uzante kategorian duvarianteco per dorsflankigo de ĉiuj sagoj en la komutaj figuroj kiuj priskribas la algebrajn aksiomojn; ĉi tiu difinas la strukturon de kunalgebro.

Estas ankaŭ abstrakta nocio de F-kunalgebro.

Prezentoj

Grupa prezento de algebro estas lineara surĵeto $\rho :A\rightarrow gl(V)$ de A al la ĝenerala lineara algebro de iu vektora spaco (aŭ modulo (modela teorio)) V, kiu konfitas la multiplika operacio: tio estas, $\rho (xy)=\rho (x)\rho (y)$. Notu, tamen, ke estas ne natura maniero difini tensoran produton de prezentoj de asociecaj algebroj, sen iel altrudi aldonajn kondiĉojn. Ĉi tie, per tensora produto de prezentoj, la kutima signifo estas intencita: la rezulto devus esti lineara prezento sur la (produkto, produto) vektora spaco. Altrudi tian aldonan strukturon tipe kondukas al la ideo de hopf-algebro aŭ lie-algebro, kiel demonstraciis pli sube.

Motivado por hopf-algebro

Konsideru, ekzemple, du prezentojn $\sigma :A\rightarrow gl(V)$ kaj $\tau :A\rightarrow gl(W)$. Oni povus provi formi tensoran produtan prezenton $\rho :x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes \tau (x)$ laŭ kiel ĝi agas sur la produta vektora spaco, tiel ke

$\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w))$

Tamen, tia mapo devus ne esti lineara, ĉar oni devus havi

$\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)$

por $k\in K$. Oni povas savi ĉi tiun provon kaj restaŭri lineareco per altrudo de aldona strukturo, per difino de mapo $\Delta :A\rightarrow A\times A$, kaj difini la tensoran produtan prezenton kiel

$\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta$

Ĉi tie, Δ estas kunmultipliko. La rezultanta strukturo estas nomita dualgebro. Por esti konsekvenca kun la difinoj de la asocieca algebro, la kunalgebro devas esti co-asocieca, kaj, se la algebro estas unuohava, tiam la co-algebro ankaŭ devas esti unuohava. Notu, ke dualgebroj lasas multiplikon kaj kunmultiplikon nerilatajn; tial ĝi estas ordinare rilatigi la du (per difinanta antipodo), tial kreante hopf-algebron.

Motivado por Lie-algebro

Unu povas provi al esti pli lerta en difinanta tensora produto. Konsideri, ekzemple,

$x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)$

tiel ke la ago sur la tensora produta spaco estas donita per

$\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)$.

Ĉi tiu mapo estas klare lineara en x, kaj tiel ĝi ne havas la problemon de la pli frua difino. Tamen, ĝi mankas al konfiti multipliko:

$\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)$.

Sed, en ĝenerala, ĉi tiu ne egala

$\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)$.

Egaleco devus validi se la produto xy estis malsimetria (se la produto estis la lie-krampo, tio estas, $xy\equiv M(x,y)=[x,y]$), tial farante la asociecan algebron en lie-algebron.

Referencoj

greke Ross Strato, Kvantumaj grupoj: eneniro al moderna algebro (1998). (Provizas bonan ĝeneralan priskribon de indekso-libera skribmaniero)