Kvadrata averaĝo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, la radiko de averaĝo de kvadratokvadrata averaĝo, estas statistika mezuro de la grandeco de varianta kvanto. Ĝi estas aparte utila kiam la stokasta variablo estas pozitiva kaj negativa.

Ĝi povas esti kalkulita por serio de diskretaj valoroj aŭ por kontinue varianta funkcio. Kiel la nomo sugestas, ĝi estas la kvadrata radiko de averaĝo de kvadratoj de la valoroj. Ĝi estas speciala okazo de la ĝeneraligita meznombro kun la eksponento 2.

La radiko de averaĝo de kvadrato de kolekto de n nombroj {x1, ..., xn} estas

 x_{ka} = \sqrt {\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt {\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} {n} }

Ekzemple, la radiko de averaĝo de kvadrato de kolekto de nombroj 2, 5, 2, 7 estas

 \sqrt{\frac{2^2 + 5^2 + 2^2 + 7^2}{4} } \approx 4,53

La radiko de averaĝo de kvadrato de funkcio f(t) super intervalo [T1, T2] estas

 \sqrt {\frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (f(t))^2\, dt}

La radiko de averaĝo de kvadrato de funkcio f(t) super la ĉiuj reelaj argumentoj estas

 \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt {\frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} (f(t))^2\, dt}

La radiko de averaĝo de kvadrato super ĉiuj reelaj argumentoj de perioda funkcio estas egala al la radiko de averaĝo de kvadrato super unu periodo de la funkcio kaj egalas al

 \sqrt {\frac{1}{T} \int_{0}^{T} (f(t))^2\, dt}

kie T estas la periodo

Interrilato al la aritmetika meznombro kaj la norma diferenco[redakti | redakti fonton]

Se \bar{x} estas la averaĝo kaj \sigma_{x} estas la norma diferenco (varianca devio) de statistika loĝantaro tiam por la radiko de averaĝo de kvadrato xka estas idento

 x_{ka}^2 = \bar{x}^2 + \sigma_{x}^2

Tiel radiko de averaĝo de kvadrato estas ĉiam pli granda ol aŭ egala al la averaĝo.

Fizikistoj iam uzas la terminon "radiko de averaĝo de kvadrato" kiel sinonimo por norma diferenco (varianca devio) kiam temas pri dekliniĝo de signalo de donita baza linio.

Radiko de averaĝo de kvadrato de iuj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Funkcio Radiko de averaĝo de kvadrato
Sinusa funkcio  a\sin(2\pi ft+b)  \frac{a}{\sqrt{2} }
ne dependas de b
Ortangula ondo  \begin{cases}a & ((ft) mod 1) < \frac{1}{2} \\ -a & ((ft) mod 1) > \frac{1}{2} \end{cases}  {a}
Triangula ondo  \frac{a}{\sqrt{3} }
Modifita ortangula ondo  \begin{cases}0 & ((ft) mod 1) < \frac{b}{2} \\ a & \frac{b}{2} < ((ft) mod 1) < \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} < ((ft) mod 1) < \frac{b+1}{2} \\ -a & ((ft) mod 1) > \frac{b+1}{2} \end{cases}  {a}{\sqrt{1-b} }

kie t estas la sendependa variablo;

f estas frekvenco;
a estas amplitudo (kulmina valoro);
b estas parametro de formo;
mod estas la modula operacio (restaĵo de divido).

En ĉiuj okazoj la radiko de averaĝo de kvadrato ne dependas de la frekvenco f.

Uzoj[redakti | redakti fonton]

Averaĝa elektra povumo[redakti | redakti fonton]

Sinusa funkcio.
1 amplitudo,
2 kulmino-kulmina svingo,
3 kvadrata averaĝo,
4 periodo.

Varma povumo P eligita per elektra rezistilo de rezistanco R tra kiu flua elektra kurento I estas

P = I2 R

Se la kurento estas funkcio de tempo I(t) tiam ankaŭ la povumo funkcio de tempo

P(t) = (I(t))2 R

La averaĝa povumo dum iu tempodaŭro tiam estas integralo de P(t) dividita je la daŭro

 P_a = \frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} P(t)\, dt = {1 \over {T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (I(t))^2R\, dt}

R ne dependas de t kaj do povas esti eligita el la integralo kiel konstanta faktoro

 P_a = R \frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (I(t))^2\, dt

Nun oni prenu kvadraton de kvadrata radiko de la integralo, la rezulto tiam ne ŝanĝiĝas

 P_a = R{\sqrt{\frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (I(t))^2\, dt} }^2

Nun la radiko estas radiko de averaĝo de kvadrato de la kurento super la daŭro

 I_{ka} = \sqrt{\frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (I(t))^2\, dt }

Kaj la formulo por averaĝa povumo povas esti skribita kiel

Pa = Ika2 R

Ĉi tio aparte utilas se la kurento I(t) estas perioda, unuavice la sinusa alterna kurento. Por sinusa alterna kurento I_{ka}=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}} kie Imax estas la amplituda valoro (kulmina valoro, momenta maksimuma absoluta valoro).

Simila rezulto okazas se konsideri tension je la rezistilo

P = V2 / R

Se la tensio estas funkcio de tempo V(t) tiam ankaŭ la povumo funkcio de tempo

P(t) = (V(t))2 / R

Kaj la averaĝa povumo estas

Pa = Vka2 / R


Por alterna kurento, ĝuste la radiko de averaĝo de kvadrato de kurento kaj tensio estas uzata kiel la ĉefa priskriba valoro. En ĉi tiu okazo la radiko de averaĝo de kvadrato de kurento aŭ tensio estas nomata kiel ĝia efika valoro, ĉar ĝi priskribas la povuman efikon. La amplituda valoro estas je kvadrata radiko de 2 (proksimume 1,41) fojoj pli granda. Tiel ekzemple, tensio 230 V de alterna kurento havas la amplitudan valoron de proksimume 325 V.

Radiko de averaĝo de kvadrato de rapido[redakti | redakti fonton]

En fiziko, la radiko de averaĝo de kvadrato de rapido estas parametro de moviĝo de molekuloj de gaso. Ĉe ideala gaso ĝi egalas

 v_{ka} = \sqrt{\frac{3RT}{M} }

kie R ≈ 8,314 J K-1 mol-1 estas la ideala kasa konstanto;

T estas temperaturo de la gaso;
M estas mola maso de la gaso.

Vidu ankaŭ en distribuo de Maxwell-Boltzmann.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]