Praktika nombro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Klasifiko de entjeroj laŭ dividebleco
Formoj de faktorigo:
Primo
Komponita nombro
Pova nombro
Kvadrato-libera entjero
Aĥila nombro
Nombroj kun limigitaj sumoj de divizoroj:
Perfekta nombro
Preskaŭ perfekta nombro
Kvazaŭperfekta nombro
Multiplika perfekta nombro
Hiperperfekta nombro
Unuargumenta perfekta nombro
Duonperfekta nombro
Primitiva duonperfekta nombro
Praktika nombro
Nombroj kun multaj divizoroj:
Abunda nombro
Alte abunda nombro
Superabunda nombro
Kolose abunda nombro
Alte komponigita nombro
Supera alte komponigita nombro
Aliaj:
Manka nombro
Bizara nombro
Amikebla nombro
Kompleza nombro
Societema nombro
Nura nombro
Sublima nombro
Harmona dividanta nombro
Malluksa nombro
Egalcifera nombro
Ekstravaganca nombro
Vidu ankaŭ:
Dividanta funkcio
Divizoro
Prima faktoro
Faktorigo

En matematiko, praktika nombro estas pozitiva entjero n tia ke ĉiuj pli malgranda pozitiva entjeroj povas esti prezentita kiel sumoj de diversaj divizoroj de n. Ekzemple, 12 estas praktika nombro ĉar ĉiuj nombroj ekde 1 ĝis 11 povas esti esprimita kiel sumoj de ĝiaj divizoroj 1, 2, 3, 4, kaj 6: kaj ankaŭ ĉi tiuj divizoroj mem, estas 5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1, kaj 11=6+3+2. Ĉiu para perfekta nombro kaj ĉiu nenegativa entjera potenco de 2 estas ankaŭ praktika nombro.

La unuaj praktikaj nombroj estas 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ...

Praktikaj nombroj estis uzita per Fibonacci en lia Liber Abaci (1202) en ligo kun la problemo de prezentado de racionalaj nombroj kiel egiptaj frakcioj. Fibonacci ne formale difinis praktikajn nombrojn, sed li donas tabelon de egiptaj frakciaj elvolvaĵoj por frakcioj kun praktikaj denominatoroj (Sigler 2002). La unua aperaĵoj de praktikaj nombroj en la moderna matematika literaturo ŝajnas al esti de Srinivasan (1948).

Karakterizado de praktikaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Kiel montris Stewart (1954), estas simple determini ĉu nombro estas praktika de ĝia prima faktorigo. Pozitiva entjero n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k} kun n>1 kaj p_1<p_2<\dots<p_k primoj estas praktika se kaj nur se p_1=2 kaj por i=2,\dots,k

p_i\leq1+\sigma(p_1^{\alpha_1}\dots p_{i-1}^{\alpha_{i-1}})=1+\prod_{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{\alpha_j+1}-1}{p_j-1},

kie σ(n) estas la dividanta funkcio (la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n).

En unu direkto, ĉi tiu kondiĉo estas klare necesa por ke kapabli prezenti na p_i-1 kiel sumo de divizoroj de n. En la alia direkto, la kondiĉo estas sufiĉa, ĉar povas esti montrita per indukto. Pli forte, eblas montri ke, se la faktorigo de n verigas la kondiĉon pli supre, do ĉiu m \le \sigma(n) povas esti prezentita kiel sumo de divizoroj de n, per jenaj ŝtupoj:

  • Estu q = \min\{\lfloor m/p_k^{\alpha_k}\rfloor, \sigma(n/p_k^{\alpha_k})\}, kaj estu r = m - qp_k^{\sigma_k}.
  • Pro tio ke q\le\sigma(n/p_k^{\alpha_k}) kaj n/p_k^{\alpha_k} povas esti montrite per indukto al esti praktikaj, oni povas trovi prezenton de q kiel sumo de divizoroj de n/p_k^{\alpha_k}.
  • Pro tio ke r\le \sigma(n) - p_k^{\alpha_k}\sigma(n/p_k^{\alpha_k}) = \sigma(n/p_k), kaj pro tio ke n/p_k povas esti montrita per indukto al esti praktika, oni povas trovi prezenton de r kiel sumo de divizoroj de n/p_k.
  • La divizoroj prezentantaj na r, kaj ankaŭ p_k^{\alpha_k} fojoj ĉiu el la divizoroj prezentantaj na q, kune formas prezenton de m kiel sumo de divizoroj de n.

Ekzemple, 3 ≤ σ(2)+1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 32)+1 = 40, kaj 823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171, tiel 2 × 32 × 29 × 823 = 429606 estas praktika.

Analogoj kun primoj[redakti | redakti fonton]

Unu kaŭzo por intereso je praktikaj nombroj estas tio, ke multaj iliaj propraĵoj estas similaj al propraĵoj de la primoj. Ekzemple, se p(x) estas la numeriga funkcio de praktikaj nombroj, kio estas, la kvanto de praktikaj nombroj ne superantaj na x, Saias (1997) pruvis ke por taŭgaj konstantoj c1 kaj c2:

c_1\frac x{\log x}<p(x)<c_2\frac x{\log x},

formulo kiu similas la prima teoremo. Konjekto de Margenstern (1991) estas ke p(x) estas asimptota al c x/\log x por iu konstanto c.

Teoremoj analogaj al konjekto de Goldbach kaj la ĝemela prima konjekto estas ankaŭ konata pro praktikaj nombroj: ĉiu pozitiva para entjero estas sumo de du praktikaj nombroj, kaj ekzistas malfinie multaj triopoj de praktikaj nombroj x-2,x,x+2 (Melfi 1996). Melfi ankaŭ montris ke estas malfinie multaj praktika fibonaĉi-nombroj; la analoga demando de la ekzisto de malfinie multaj fibonaĉi-primoj estas malfermita. Hausman kaj Shapiro (1984) montris ke ĉiam ekzistas praktika nombro en la intervalo [x2,(x+1)2] por ĉiu pozitiva reela) x, rezulto analoga al konjekto de Legendre por primoj.

Praktikaj nombroj kaj egiptaj frakcioj[redakti | redakti fonton]

Se n estas praktika, tiam ĉiu racionala nombro de la formo m/n povas esti prezentita kiel sumo ∑di/n kie ĉiu di estas diversa dividanto de n. Ĉiu termo en ĉi tiu sumo plisimpliĝas al ono, tiel ĉi tia sumo provizas prezenton de m/n kiel egipta frakcio. Ekzemple,

\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{2}{20}+\frac{1}{20}=\frac12+\frac1{10}+\frac1{20}.

Fibonacci, en lia libro Liber Abaci de 1202 (Sigler, 2002) listas kelkajn manierojn por trovi egiptajn frakciajn prezentojn de racionala nombro. De ĉi tiuj, la unua estas provo ĉu la nombro estas jam ono, sed la dua estas serĉi por prezento de la numeratoro kiel sumo de divizoroj de la denominatoro, kiel estas priskribita pli supre; ĉi tiu maniero estas nur garantias sukceson por denominatoroj kiuj estas praktikaj. Fibonacci provizas tabelojn de ĉi tiuj prezentoj por frakcioj havanta kiel denominatoroj la praktikajn nombrojn 6, 8, 12, 20, 24, 60, kaj 100.

Referencoj[redakti | redakti fonton]

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N.Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N. (1984). "On practical numbers - Sur praktikaj nombroj". Communications on Pure and Applied Mathematics - Komunikadoj sur pura kaj aplika matematiko 37 (5): 705–713. MathSciNet0752596

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}}. COI:10.1016/S0022-314X(05)80022-8 Margenstern, MauriceMargenstern, Maurice (1991). "Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures". Journal of Number Theory - Ĵurnalo de nombra teorio 37 (1): 1–36. MathSciNet1089787

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}}. COI:10.1006/jnth.1996.0012 Giuseppe MelfiGiuseppe Melfi (1996). "On two conjectures about practical numbers - Sur du konjektoj pri praktikaj nombroj". Journal of Number Theory - Ĵurnalo de nombra teorio 56 (1): 205–210. MathSciNet1370203

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}}. COI:10.1006/jnth.1997.2057 Saias, EricSaias, Eric (1997). "Entiers à diviseurs denses, I". Journal of Number Theory - Ĵurnalo de nombra teorio 62 (1): 163–191. MathSciNet1430008

  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci - Liber Abaci de Fibonacci. Springer-Verlag, 119–121. ISBN 0-387-95419-8.

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Srinivasan, A. K.Srinivasan, A. K. (1948). "Practical numbers - Praktikaj nombroj". Current Science - Aktuala scienco 17: 179–180. MathSciNet0027799

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Stewart, B. M.Stewart, B. M. (1954). "Sums of distinct divisors. - Sumoj de diversaj divizoroj.". American Journal of Mathematics - Amerika ĵurnalo de matematiko 76: 779–785. MathSciNet0064800

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]