Reelo: Malsamoj inter versioj
[nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Kani (diskuto | kontribuoj) Neniu resumo de redakto |
LiMrBot (diskuto | kontribuoj) formatigo de titoloj, +Projektoj, +Bibliotekoj, kosmetikaj ŝanĝoj |
||
Linio 8: | Linio 8: | ||
== Historio == |
== Historio == |
||
[[Frakcio]]j estis uzataj de la [[egipto]]j jam ĉirkaŭ [[-1000|1000 a.K.]]. Ĉirkaŭ [[-500|500 a.K.]] [[Grekio|grekaj]] [[matematikisto]]j gvidataj de [[Pitagoro]] notis la neceson de [[neracionala nombro|neracionalaj nombroj]]. |
[[Frakcio]]j estis uzataj de la [[egipto]]j jam ĉirkaŭ [[-1000|1000 a.K.]]. Ĉirkaŭ [[-500|500 a.K.]] [[Grekio|grekaj]] [[matematikisto]]j gvidataj de [[Pitagoro]] notis la neceson de [[neracionala nombro|neracionalaj nombroj]]. |
||
La strikta teorio de reeloj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de [[Karl Weierstraß|K. Weierstrass]], [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|R. Dedekind]] kaj [[Georg Cantor|G. Cantor]]. |
La strikta teorio de reeloj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de [[Karl Weierstraß|K. Weierstrass]], [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|R. Dedekind]] kaj [[Georg Cantor|G. Cantor]]. |
||
Linio 14: | Linio 14: | ||
== Difino == |
== Difino == |
||
=== Konstruo de la reeloj el la racionaloj === |
=== Konstruo de la reeloj el la racionaloj === |
||
Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelon kiel [[dedekinda tranĉo|dedekindan tranĉon]] de la racionalaj nombroj. |
Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelon kiel [[dedekinda tranĉo|dedekindan tranĉon]] de la racionalaj nombroj. |
||
=== Aksiomoj pri la reeloj === |
=== Aksiomoj pri la reeloj === |
||
Linio 41: | Linio 41: | ||
== Vidu ankaŭ == |
== Vidu ankaŭ == |
||
* [[Natura nombro]] |
* [[Natura nombro]] |
||
* [[Entjero]] |
* [[Entjero]] |
||
Linio 52: | Linio 51: | ||
* [[Arkimeda propraĵo]] estas la propraĵo de ne havo de ''malfinie grandaj'' aŭ ''malfinie malgrandaj'' ([[infinitezimo|infinitezimaj]]) eroj, la propraĵo rilatas ankaŭ al reeloj. |
* [[Arkimeda propraĵo]] estas la propraĵo de ne havo de ''malfinie grandaj'' aŭ ''malfinie malgrandaj'' ([[infinitezimo|infinitezimaj]]) eroj, la propraĵo rilatas ankaŭ al reeloj. |
||
* [[Kardinalo de kontinuaĵo]] |
* [[Kardinalo de kontinuaĵo]] |
||
{{Projektoj}} |
|||
{{Bibliotekoj}} |
|||
[[Kategorio:Nombroj]] |
[[Kategorio:Nombroj]] |
Kiel registrite je 18:29, 24 aŭg. 2019
Reeloj (reelaj nombroj) estas intuicie difinitaj kiel nombroj, kiuj estas bijekciaj al la punktoj sur malfinia rekto, la nombra akso. Historie la termino reala nombro estis konstruita responde kaj kontraste al imaginara nombro. En Esperanto oni kutime uzas apartan radikon substantivan reelo.
Reelo povas esti racionala aŭ neracionala; algebra aŭ transcenda; kaj pozitiva, negativa aŭ nulo.
Teorie la reelojn eblas prezenti per poziciaj frakcioj, havantaj malfinie multajn ciferojn dekstre de la on-komo. Tamen oni praktike neniam povus skribi la pozician frakcion de neracionala nombro, ĉar oni bezonus infinite multan tempon kaj spacon.
La aro de ĉiuj reeloj estas signata per R aŭ ℝ.
Historio
Frakcioj estis uzataj de la egiptoj jam ĉirkaŭ 1000 a.K.. Ĉirkaŭ 500 a.K. grekaj matematikistoj gvidataj de Pitagoro notis la neceson de neracionalaj nombroj.
La strikta teorio de reeloj estis evoluigita nur en dua duono de 19-a jarcento laŭ verkoj de K. Weierstrass, R. Dedekind kaj G. Cantor.
Difino
Konstruo de la reeloj el la racionaloj
Ekzistas pluraj manieroj konstrui la reelojn surbaze de la racionalaj nombroj. Ekzemple, oni povas difini reelon kiel dedekindan tranĉon de la racionalaj nombroj.
Aksiomoj pri la reeloj
Oni povas karakterizi la kampon de reeloj per tiuj aksiomoj (ĝis izomorfio):
- La kampo-aksiomoj pri adicio, multipliko kaj distribueco
- Aksiomo pri ordo, unu el la du ekvivalentaj aksiomoj
- ekzistas harmonia tuteca ordo (K, <) (do el 0 < a kaj 0 < b sekvas 0 < a + b kaj 0 < a·b)
- ekzistas subaro K₊ tiel, ke
- K = K₊ U {0} U −K₊
- Se a,b ∈ K₊, tiam a + b ∈ K₊ kaj a·b ∈ K₊
- Unu el la (ekvivalentaj) aksiomoj de kompleteco :
Ankaŭ estas la aksiomo de Cantor-Dedekind kiu priskribas rilaton de reeloj al geometrio.
Demonstrado de Cantor pli la "pligrandeco" de la infinito de reelaj
Post montrinte la paradoksoj de malfinio, kiu montras, ke la racionalaj nombroj, kvankam malfinie pli nombraj ol la entjeraj nombroj estas tamen "egale" nombraj, ĉar eblas konstrui parigadosistemon, per kiu ĉiu ero de la unua aro estas parigita laŭ ensurĵeto kun ĉiu ero de la dua. Sed kun la sama rezono, eblas pruvi, ke la malfinio de la aro de reeloj (kardinalo de kontinuaĵo) estas pli granda!
- Ni supozu, ke tia parigado estus efektivigita. Do ni ricevas tabelon, en kies unua kolumno troviĝas la tuta vico de la malfininombraj entjeroj ("potenco de la malkontinua"), en la sekvaj estos, linio post linio la laŭvicaj decimaloj de la ĉiu reela nombro parigita kun ĉiu entjera.
- Jen nun ni konstruu reelon kies unua decimalo estu io ajn krom la unua decimalo de la unua reelo de la tabelo. Ties dua decimalo ni faru io ajn krom la dua decimalo de la dua reelo de la tabelo. Kaj tiel plu (malfinie kompreneble!)
- Do nun tiu konstruita nombro ne povos esti parigita kun la unua entjero, ĉar ties unua decimalo nepre estos malsama. Ĝi ne povos esti parigita kun la dua, ĉar ĝia dua decimalo estos malsama. Kaj tiel plu. Do tiu nombro NE troviĝas en la supozita tuta parigado. CQFD (latine: Quod erat demonstrandum, kio estis pruvenda).
Vidu ankaŭ
- Natura nombro
- Entjero
- Racionala nombro
- Neracionala nombro
- Algebra nombro
- Transcenda nombro
- Kompleksa nombro
- Aksiomo de Cantor-Dedekind
- Arkimeda propraĵo estas la propraĵo de ne havo de malfinie grandaj aŭ malfinie malgrandaj (infinitezimaj) eroj, la propraĵo rilatas ankaŭ al reeloj.
- Kardinalo de kontinuaĵo