Listo de uniformaj ebenaj kahelaroj

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Ĉi tie estas listigitaj uniformaj kahelaroj da la eŭklida kaj hiperbola ebenoj.

Konveksaj uniformaj kahelaroj de la eŭklida ebeno[redakti | redakti fonton]

Sube estas montritaj la 11 konveksaj uniformaj kahelaroj de la eŭklida ebeno kaj iliaj dualaj kahelaroj.

Estas tri regulaj kaj 8 duonregulaj kahelaroj de la ebeno.

Uniformaj kahelaroj estas listigitaj kun iliaj verticaj konfiguroj, kiu estas vico de edroj kiuj estas ĉirkaŭ ĉiu vertico, ĉiu edro estas priskribita per sia kvanto de lateroj.

Dualaj kahelaroj estas listigitaj per iliaj edraj konfiguroj, kiu estas vico de verticoj kiuj estas ĉirkaŭ ĉiu edro, ĉiu vertico estas priskribita per sia kvanto de lateroj ĉe si.

Ĉi tiuj 11 uniformaj kahelaroj havas 32 malsamajn uniformajn kolorigojn. Uniforma kolorigo permesas al identaj edroj al esti kolorigitaj (kaj konsiderataj) malsame, tamen konservante vertico-transitivecon. Noto: Iu el la bildoj de kahelaroj en ĉi tiu artikolo estas ne uniforme kolorigitaj.

La R3 {4,4} familio[redakti | redakti fonton]

Uniforma kahelaro Vertica konfiguro

Simbolo de Schläfli

Geometria simetria grupo
Duala kahelaro
Bildo
Kvadrata kahelaro (regula)
4.4.4

{4,4}

p4m
Bildo
Mem-duala
Bildo
Senpintigita kvadrata kahelaro
4.8.8

t{4,4}

p4m
Bildo
Kvarlateropiramidigita kvadrata kahelaro
Bildo
Riproĉa kvadrata kahelaro
3.3.4.3.4

s{4,4}

p4g
Bildo
Kaira kvinlatera kahelaro

La V3 {6,3} familio[redakti | redakti fonton]

Uniforma kahelaro Vertica konfiguro

Simbolo de Schläfli

Geometria simetria grupo
Duala kahelaro
Bildo
Seslatera kahelaro (regula)
6.6.6

{6,3}
t{3,6}

p6m
Bildo
Triangula kahelaro
Bildo
Tri-seslatera kahelaro
3.6.3.6

\begin{Bmatrix} 6 \\ 3 \end{Bmatrix}

p6m
Bildo
Kvazaŭregula romba kahelaro
Bildo
Senpintigita seslatera kahelaro
3.12.12

t{6,3}

p6m
Bildo
Trilateropiramidigita triangula kahelaro
Bildo
Triangula kahelaro (regula)
3.3.3.3.3.3

{3,6}

p6m
Bildo
Seslatera kahelaro
Bildo
Malgranda rombo-tri-seslatera kahelaro
3.4.6.4

r\begin{Bmatrix} 6 \\ 3 \end{Bmatrix}

p6m
Bildo
Deltosimila tri-seslatera kahelaro
Bildo
Granda rombo-tri-seslatera kahelaro
4.6.12

t\begin{Bmatrix} 6 \\ 3 \end{Bmatrix}

p6m
Bildo
Dusekcita seslatera kahelaro
Bildo
Riproĉa seslatera kahelaro
3.3.3.3.6

s{6,3}

p6
Bildo
Florosimila kvinlatera kahelaro

Ne konstruebla per konstruo de Wythoff[redakti | redakti fonton]

Uniforma kahelaro Vertica konfiguro

Simbolo de Schläfli

Geometria simetria grupo
Duala kahelaro
Bildo
Plilongigita triangula kahelaro
3.3.3.4.4

{3,6}:e

cmm
Bildo
Prisma kvinlatera kahelaro

Aldonaj uniformaj kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Estas ankaŭ aldonaj uniformaj kahelaroj, kiuj povas esti konsiderataj. Ili havas jenajn diferencojn de la supre listigitaj:

  • Kahelaroj kiuj estas analogaj al nekonveksaj uniformaj pluredroj:
    • Verticaj figuroj povas havi retroirajn edrojn kaj turniĝi ĉirkaŭ la vertico pli ol unufoje.
    • Nekonveksaj stelaj edroj povas esti uzataj.
  • Malfiniolateraj edroj {∞} povas esti uzitaj.

Entute povas esti konsiderataj 39 uniformaj kahelaroj. sube ili estas donitaj per vertica konfiguro kaj simbolo de Wythoff.

La 3 novaj kahelaroj kun du {∞} edroj:

  • ∞.∞ (Du duonebeno (kaheloj, kahelas), malfinia duedro)
  • 4.4.∞ - ∞ 2 | 2 (malfinia prismo)
  • 3.3.3.∞ - | 2 2 ∞ (malfinia kontraŭprismo)

La 4 novaj kahelaroj, faritaj surbaze iuj el la 11 la bazaj, per anstataŭigo de iuj edroj per {∞} edroj:

La cetera listo inkluzivas 21 kahelarojn, el ili 7 estas kun {∞} edroj. Estas nur 14 unikaj situoj de lateroj de ĉi tiuj 21 kahelaroj, kaj sube ili estas grupigitaj laŭ situo de lateroj en 14 specojn. La unua speco havas situon de lateroj identan al tiu de 3.4.6.4 kahelaro.

  • Speco 1
    • 3/2.12.6.12 - 3/2 6 | 6
    • 4.12.4/3.12/11 - 2 6 (3/2 3) |
  • Speco 2
    • 8/3.4.8/3.∞ - 4 ∞ | 4/3
    • 8/3.8.8/9.8/7 - 4/3 4 (2 ∞) |
    • 8.4/3.8.∞ - 4/3 ∞ | 4
  • Speco 3
    • 12/5.6.12/5.∞ - 6 ∞ | 6/5
    • 12/5.12.12/7.12/11 - 6/5 6 (3 ∞) |
    • 12.6/5.12.∞ - 6/5 ∞ | 6
  • Speco 4
    • 12/5.3.12/5.6/5 - 3 6 | 6/5
    • 12/5.4.12/7.4/3 - 2 6/5 (3/2 3) |
    • 4.3/2.4.6/5 - 3/2 6 | 2
  • Speco 5
    • 8.8/3.∞ - 4/3 4 ∞ |
  • Speco 6
    • 12.12/5.∞ - 6/5 6 ∞ |
  • Speco 7
    • 8.4/3.8/5 - 2 4/3 4 |
  • Speco 8
    • 6.4/3.12/7 - 2 3 6/5 |
  • Speco 9
    • 12.6/5.12/7 - 3 6/5 6 |
  • Speco 10
    • 4.8/5.8/5 - 2 4 | 4/3
  • Speco 11
    • 12/5.12/5.3/2 - 2 3 | 6/5
  • Speco 12
  • Speco 13
    • 4.3/2.4.3/2.3/2 - riproĉa
  • Speco 14
    • 3.4.3.4/3.3.∞ - riproĉa

Uniformaj kahelaroj de hiperbola ebeno[redakti | redakti fonton]

La {p,q} familioj[redakti | redakti fonton]

Estas malfinia kvanto da regulaj kahelaroj de la hiperbola ebeno. La kahelaroj povas esti konstruitaj el regulaj konveksaj p-lateroj, kun q el ili ĉirkaŭ ĉiu vertico (do kun simbolo de Schläfli {p,q}), se sumo de la anguloj ĉe vertico estas pli granda ol 360 gradoj (la angula difekto estas negativa). La kondiĉo povas esti skribita kiel

(p-2)(q-2) > 4

Do povas esti ĉirkaŭ ĉiu vertico:

Surbaze de ili per operacioj povas esti konstruitaj uniformaj neregulaj kahelaroj.

Sube estas montritaj du familioj - {7,3} (3 sepanguloj aŭ 7 trianguloj ĉirkaŭ ĉiu vertico) kaj {5,4} (4 kvinlateroj aŭ 5 kvadratoj ĉirkaŭ ĉiu vertico)

La bildoj estas projekcioj kiel diska modelo de Poincaré.

La {7,3} familio[redakti | redakti fonton]

Uniforma kahelaro Vertica konfiguro

Simbolo de Schläfli

Geometria simetria grupo
Duala kahelaro
Bildo
Ordo-3 seplatera kahelaro (regula)
7.7.7

{7,3}

[7,3]
Bildo
Ordo-7 triangula kahelaro
Bildo
Ordo-3 senpintigita seplatera kahelaro
3.14.14

t{7,3}

[7,3]
Bildo
Ordo-7 trilateropiramidigita triangula kahelaro
Bildo
Tri-seplatera kahelaro
3.7.3.7

\begin{Bmatrix} 7 \\ 3 \end{Bmatrix} aŭ t1{7,3}

[7,3]
Bildo
Ordo-7-3 kvazaŭregula romba kahelaro
Bildo
Ordo-7 senpintigita triangula kahelaro
7.6.6

t{3,7}

[7,3]
Bildo
Ordo-3 seplateropiramidigita seplatera kahelaro
Bildo
Ordo-7 triangula kahelaro (regula)
37

{3,7}

[7,3]
Bildo
Ordo-3 seplatera kahelaro
Bildo
Malgranda rombo-tri-seplatera kahelaro
3.4.7.4

r\begin{Bmatrix} 7 \\ 3 \end{Bmatrix} aŭ t0,2{7,3}

[7,3]
Bildo
Deltosimila tri-seplatera kahelaro
Bildo
Granda rombo-tri-seplatera kahelaro
4.6.14

t\begin{Bmatrix} 7 \\ 3 \end{Bmatrix} aŭ t0,1,2{7,3}

[7,3]
Bildo
Ordo-3 dusekcita seplatera kahelaro
Bildo
Ordo-3 riproĉa seplatera kahelaro (nememspegulsimetria)
3.3.3.3.7

s{7,3}

[7,3]
Bildo
Ordo-7-3 florosimila kvinlatera kahelaro (nememspegulsimetria)

La {5,4} familio[redakti | redakti fonton]

Uniforma kahelaro Vertica konfiguro

Simbolo de Schläfli

Geometria simetria grupo
Duala kahelaro
Bildo
Ordo-4 kvinlatera kahelaro (regula)
5.5.5.5

{5,4}

[5,4]
Bildo
Ordo-5 kvadrata kahelaro
Bildo
Senpintigita kvinlatera kahelaro
4.10.10

t{5,4}

[5,4]
Bildo
Ordo-5 kvarlateropiramidigita kvadrata kahelaro
Bildo
Kvar-kvinlatera kahelaro
4.5.4.5

\begin{Bmatrix} 5 \\ 4 \end{Bmatrix} aŭ t1{5,4}

[5,4]
Bildo
Ordo-5-4 kvazaŭregula romba kahelaro
Bildo
Ordo-5 senpintigita kvadrata kahelaro
8.8.5

t{3,7}

[5,4]
Bildo
Ordo-4 kvinlateropiramidigita kvinlatera kahelaro
Bildo
Ordo-5 kvadrata kahelaro (regula)
45

{4,5}

[5,4]
Bildo
Ordo-4 kvinlatera kahelaro
Bildo
Malgranda rombo-kvar-kvinlatera kahelaro
4.4.5.4

r\begin{Bmatrix} 5 \\ 4 \end{Bmatrix} aŭ t0,2{5,4}

[5,4]
Bildo
Deltosimila kvar-kvinlatera kahelaro
Bildo
Granda rombo-kvar-kvinlatera kahelaro
4.8.10

t\begin{Bmatrix} 5 \\ 4 \end{Bmatrix} aŭ t0,1,2{5,4}

[5,4]
Bildo
Ordo-4 dusekcita kvinlatera kahelaro
Bildo
Ordo-4 riproĉa kvinlatera kahelaro (nememspegulsimetria)
3.3.4.3.5

s{5,4}

[5,4]
Bildo
Ordo-5-4 florosimila kvinlatera kahelaro (nememspegulsimetria)

La (p q r) familioj[redakti | redakti fonton]

Ankaŭ estas familioj konstrueblaj per konstruo de Wythoff kun nombroj (p q r) kun p≥4, q≥3, r≥3 (ne priskribeblaj per simbolo de Schläfli {p,q}).

En ĝenerala okazo ĉi tiaj familioj ne inkluzivas regulajn kahelarojn. Montrita sube aperinta en (4 3 3) familio regula ordo-8 triangula kahelaro fakte respektivas al {8,3} familio.

Sube estas montrita (4 3 3) familio.

La bildoj estas projekcioj kiel diska modelo de Poincaré.

La (4 3 3) familio[redakti | redakti fonton]

Uniforma kahelaro Vertica konfiguro

Simbolo de Wythoff

Geometria simetria grupo
Duala kahelaro
Bildo
Ordo-4-3-3_t0 kahelaro
(3.4)^3

3 | 3 4

(4 3 3)
Bildo
Ordo-4-3-3_t0 duala kahelaro
Bildo
Ordo-4-3-3_t01 kahelaro
3.8.3.8

3 3 | 4

(4 3 3)
Bildo
Ordo-4-3-3_t01 duala kahelaro
Bildo
Ordo-4-3-3_t12 kahelaro
3.6.4.6

4 3 | 3

(4 3 3)
Bildo
Ordo-4-3-3_t12 duala kahelaro
Bildo
Ordo-4-3-3_t2 kahelaro (ordo-8 triangula kahelaro (regula))
(3.3)4

4 | 3 3

(4 3 3)
Bildo
Ordo-4-3-3_t2 duala kahelaro (ordo-3 oklatera kahelaro (regula))
Bildo
Ordo-4-3-3_t012 kahelaro (ordo-8 senpintigita triangula kahelaro)
6.6.8

4 3 3 |

(4 3 3)
Bildo
Ordo-4-3-3_t012 duala kahelaro
Bildo
Ordo-4-3-3 riproĉa kahelaro (nememspegulsimetria)
3.3.3.3.3.4

| 4 3 3

(4 3 3)
Bildo
Ordo-4-3-3 riproĉa duala kahelaro (nememspegulsimetria)

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • Branko Grünbaum, Shephard G. C. (1987). Tilings and Patterns - Kahelaroj kaj ŝablonoj. Novjorko: W. H. Freeman. ISBN 0-716-71193-1. (Ĉapitro 2.1: Regulaj kaj uniformaj kahelaroj, p.58-65)

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]