Simbolo de Schläfli

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En geometrio, la simbolo de Schläfli estas skribmaniero por priskribi regulajn kaj ne nur hiperpluredrojn kaj kahelarojn.

La Simbolo de Schläfli estas nomita post la 19-a-jarcenta matematikisto Ludwig Schläfli kiu faris gravajn esplorojn en geometrio kaj aliaj areoj.

Vidu ankaŭ en listo de regulaj hiperpluredroj.

Regulaj plurlateroj (ebeno)[redakti | redakti fonton]

La simbolo de Schläfli de konveksa regula plurlatero kun n lateroj estas {n}.

Ekzemple, regula kvinlatero estas prezentita per {5}.

La simbolo de Schläfli de nekonveksa regula stelo (figuro) estas {n/m}, kie n estas kvanto de la lateroj, kaj m estas tia ke m-1 verticoj estas preterpasataj de ĉiu latero.

Ekzemple, {5/2} estas la stelokvinlatero.

Ĉi tie m < n/2, skribaĵo kun m > n/2 respektivas al stelo en kiu la verticoj estas trapasataj en la mala ordo. Skribaĵo n/(n-1) respektivas al konveksa plurlatero en kiu la verticoj estas trapasataj en la mala ordo.

Regulaj pluredroj (3-spaco)[redakti | redakti fonton]

La simbolo de Schläfli de regula pluredro estas {p,q} se ĝiaj edroj estas p-lateroj, kaj ĉiu vertico estas ĉirkaŭbarita per q edroj (la vertica figuro estas q-latero).

Ekzemple {5,3} estas la regula dekduedro. Ĝi havas kvinlaterajn edrojn, kaj 3 kvinlaterojn estas ĉirkaŭ ĉiu vertico.

Vidu la 5 konveksajn platonajn solidojn kaj la 4 nekonveksajn pluredrojn de Keplero-Poinsot.

Simboloj de Schläfli estas difinita ankaŭ por regulaj kahelaroj de eŭklidahiperbola enenoj en simila maniero.

Ekzemple, la seslatera kahelaro estas priskribata kiel {6,3}.

Regulaj plurĉeloj (4-spaco)[redakti | redakti fonton]

La simbolo de Schläfli de regula plurĉelo estas de la formo {p,q,r}. Ĝi havas regulaj plurlateraj edroj {p}, ĉelojn {p,q}, regulajn pluredrajn verticajn figurojn {q,r}, regulaj plurlaterajn laterajn figurojn {r}.

Vidu la 6 konveksajn regulajn plurĉelojn kaj 10 nekonveksajn regulajn plurĉelojn.

Ekzemple, la 120-ĉelo estas prezentita per {5,3,3}. Ĝi estas farita el dekduedraj ĉeloj {5,3}, kaj havas 3 ĉelojn ĉirkaŭ ĉiu latero.

Estas ankaŭ unu regula kahelaro de eŭklida 3-spaco: la kuba kahelaro, kun Simbolo de Schläfli de {4,3,4}, el kubaj ĉeloj, kun 4 kuboj ĉirkaŭ ĉiu latero.

Estas ankaŭ 4 regulaj hiperbolaj kahelaroj. Ekzemple {5,3,4}, la hiperbola malgranda dekduedra kahelaro enspacas la spacon per dekduedraj ĉeloj, kun 4 dekduedroj ĉirkaŭ ĉiu latero.

Pli altaj dimensioj[redakti | redakti fonton]

Por pli alte dimensiaj hiperpluredroj, la simbolo de Schläfli estas difinita rekursie kiel {p1, p2, ..., pn − 1} se la facetoj havas simbolon de Schläfli {p1,p2, ..., pn − 2} kaj la verticaj figuroj havas simbolon de Schläfli {p2,p3, ..., pn − 1}.

Noto ke vertica figuro de faceto kaj faceto de vertica figuro estas la sama hiperpluredro kun simbolo de Schläfli {p2,p3, ..., pn − 2}.

Estas nur 3 regulaj hiperpluredroj en 5 dimensioj kaj pli supre: la simplaĵo, {3,3,3,...,3}; la kruco-hiperpluredro, {3,3, ... ,3,4}; kaj la hiperkubo, {4,3,3,...,3}. Ne ekzistas nekonveksaj regulaj hiperpluredroj pli supre ol en 4 dimensioj.

Dualaj hiperpluredroj[redakti | redakti fonton]

Por dimensio 2 aŭ pli alta, ĉiu hiperpluredro havas la dualan hiperpluredron.

Se hiperpluredro havas simbolon de Schläfli {p1,p2, ..., pn-1} tiam ĝia duala havas simbolon de Schläfli {pn-1, ..., p2,p1}.

Se la vico estas la sama se rigardi ĝi antaŭen kaj malantaŭen, la hiperpluredro estas mem-duala. Ĉiu regula hiperpluredro en 2 dimensioj (plurlatero) estas mem-duala.

Prismoj[redakti | redakti fonton]

Prismaj hiperpluredroj povas esti difinita kaj nomataj kiel karteziaj produtoj de subaj dimensiaj hiperpluredroj:

  • p-latera prismo kun vertica figuro p.4.4 kiel {}×{p}.
  • Uniforma {p,q}-edra prismo kiel {}×{p,q}.
  • Uniforma p-q duprismo kiel {p}×{q}.

Noto ke ĉi tio rilatas nur al neklinaj prismoj.

Prismo povas ankaŭ esti prezentita kiel la tranĉo de duvertica pluredro kiel t\begin{Bmatrix} 2,p \end{Bmatrix}, kaj kontraŭprismo (riproĉa duvertica pluredro) kiel s\begin{Bmatrix} 2 \\ p \end{Bmatrix}.

Etendita simbolo de Schläfli por uniformaj hiperpluredroj[redakti | redakti fonton]

Uniformaj hiperpluredroj, faritaj per konstruo de Wythoff, estas priskribataj per etendita tranĉa skribmaniero de regula formoj {p,q,...}.

Estadas uzataj du variantoj de la etendita simbolo de Schläfli.

La dua, pli ĝenerala skribmaniero aplikas al ĉiuj dimensioj, kaj estas skribata kiel "t" sekvata per listo de indeksoj respektivaj al speguloj de la konstruo de Wythoff. La spegulaj ankaŭ respektivas al ringitaj verticoj en figuro de Coxeter-Dynkin. Ĉiu indekso prezentas unuon el la hiperebenoj de la reflektaj speguloj en la fundamenta domajno. Kvanto de la hiperebenoj n, kaj do maksimuma kvanto de indeksoj, egalas al la dimensio de hiperpluredro, aŭ al dimensio de la kahelarata spaco plus 1. La eblas valoroj de la indeksoj estas 0 ... n-1. Entuta kvanto de la variantoj, krom la regula, estas 2n-1. Riproĉaj formoj ne estas priskribataj per ĉi tiu maniero.

Ekzemple, la senpintigita sesedro povas esti prezentita per t0,1{4,3} kaj ĝi povas vidiĝi kiel mezvojo inter la kubo, t0{4,3}, kaj la kubokedro, t1{4,3}.

Estas donita ankaŭ alternativa nomo de operacio, vera nur por ĉi tiu dimensio. Ekzemple Entutotranĉo estas rektigitotranĉo en 3 dimensioj sed edrolateroverticotranĉo en 4 dimensioj. Kaj rektigitotranĉo en 4 dimensioj estas io alia.

Uniformaj pluredroj kaj 2-kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Ĉiu regula pluredro aŭ kahelaro {p,q} havas 7 formojn, inkluzivante la regulan formon kaj ĝin dualan, respektive al pozicioj en la fundamenta orta triangulo. La 8-a speciala formo, la riproĉa, estas alternado de la entutotranĉita formo. La unua varianto de la etendita simbolo de Schläfli havas skribmanierojn por ili ĉiuj.

Operacio Operacio - alternativa nomo nur por ĉi tiu dimensio Etenditaj simboloj de Schläfli Figuro de Coxeter-Dynkin Konstruo de Wythoff
Gepatro {p,q} t0{p,q} Dynkins-100.png q | 2 p
Rektigita Kvazaŭregula \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t1{p,q} Dynkins-010.png 2 | p q
Durektigita Duala {q,p} t2{p,q} Dynkins-001.png p | 2 q
Senpintigita t{p,q} t0,1{p,q} Dynkins-110.png 2 q | p
Dutranĉita Senpintigita duala t{q,p} t1,2{p,q} Dynkins-011.png 2 p | q
Laterotranĉita Ekspansiita, elvolvita r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t0,2{p,q} Dynkins-101.png p q | 2
Rektigitotranĉita aŭ lateroverticotranĉita Entutotranĉita t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t0,1,2{p,q} Dynkins-111.png 2 p q |
Riproĉa s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} s{p,q} Dynkins-sss.png | 2 p q

Uniformaj plurĉeloj kaj 3-kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Estas ĝis 15 malsamaj tranĉitaj formoj por plurĉeloj kaj kahelaroj bazitaj sur ĉiu regula formo{p,q,r}.

Vidu ankaŭ en uniforma plurĉelo kaj konveksa uniforma kahelaro de eŭklida 3-spaco.

Operacio Operacio - alternativa nomo nur por ĉi tiu dimensio Etenditaj simboloj de Schläfli Figuro de Coxeter-Dynkin
Gepatro {p,q,r} t0{p,q,r} Dynkins-1000.png
Rektigita \begin{Bmatrix} p \\ q , r \end{Bmatrix} t1{p,q,r} Dynkins-0100.png
Durektigita Rektigita duala \begin{Bmatrix} q , p \\ r \end{Bmatrix} t2{p,q,r} Dynkins-0010.png
Trirektigita Duala {r,q,p} t3{p,q,r} Dynkins-0001.png
Senpintigita t0,1{p,q,r} Dynkins-1100.png
Dutranĉita t1,2{p,q,r} Dynkins-0110.png
Tritranĉita Senpintigita duala t2,3{p,q,r} Dynkins-0011.png
Laterotranĉita t0,2{p,q,r} Dynkins-1010.png
Dulaterotranĉita Laterotranĉita duala t1,3{p,q,r} Dynkins-0101.png
Edrotranĉita Ekspansiita, elvolvita t0,3{p,q,r} Dynkins-1001.png
Rektigitotranĉita aŭ lateroverticotranĉita t0,1,2{p,q,r} Dynkins-1110.png
Durektigitotranĉita Rektigitotranĉita duala t1,2,3{p,q,r} Dynkins-0111.png
Edroverticotranĉita t0,1,3{p,q,r} Dynkins-1101.png
Edrolaterotranĉita Edroverticotranĉita duala t0,2,3{p,q,r} Dynkins-1011.png
Edrolateroverticotranĉita Entutotranĉita t0,1,2,3{p,q,r} Dynkins-1111.png

Formoj kun indekso "0" ĉe "t" estas diversaj tranĉitaj - "edro"-"latero"-"vertico"-"tranĉitaj".

  • Se estas indekso "1" ĉe "t" ĝi estas "vertico"-"tranĉita"
  • Se estas indekso "2" ĉe "t" ĝi estas "latero"-"tranĉita"
  • Se estas indekso "3" ĉe "t" ĝi estas "edro"-"tranĉita"

Referencoj[redakti | redakti fonton]

Etendita simbolo de Schläfli estas uzita de Harold Scott MacDonald Coxeter

  • The Beauty of Geometry: Twelve Essays - La Belo de Geometrio: Dek du eseoj (1999), Dover Publications ISBN 978-0-486-40919-1 (Ĉapitro 3: konstruado de Wythoff por uniformaj hiperpluredroj, p 41-53)
  • Norman Johnson Uniformaj Hiperpluredroj, Manuskripto (1991)
  • Norman Johnson La Teorio de Uniformaj Hiperpluredroj kaj Kahelaroj, Ph.D. Disertaĵo, Universitato de Toronto, 1966
  • Coxeter, H.S.M.; Regulaj Hiperpluredroj, (Methuen kaj Co., 1948). (pp. 14, 69, 149)
  • Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniformaj pluredroj, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50. (etendita skribmaniero Schläfli difinita: tabelo 1, p 403)

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]