Areo

Areo (komparu: sanskrite ur, urv, urw.ars (tero); latine area (arvum, kampo)) estas la kvanto esprimanta la grandecon de regiono sur ebeno aŭ, pli ĝenerale, mezuron de (ne nepre ebena) dudimensia surfaco.

Ekzemple, la areo de ortangulo estas kalkulata per la formulo a×b, kie a kaj b estas la longo kaj la larĝo de la ortangulo.

La SI-unuo de areo estas kvadrata metro (m²). Aliaj unuoj estas kvadrata kilometro ktp. kaj hektaro (100 m × 100 m = 10 000 m²).

La vorton areo oni uzas ankaŭ en alia senco: tiel oni nomas parton de la tera surfaco kun difinitaj limoj aŭ difinita uzo. Kutime estas klare, ĉu temas pri la areo mem aŭ pri la mezuro de ĝia grando, tamen oni konsciu, ke temas pri la uzado de la sama vorto por malsamaj nocioj.

Difinoj

Laŭ Francisko Azorín areo estas Tersurfaco. Spaco inter difinitaj limoj.

Alproksimiĝo al difino de tio kio estas komprenata per "areo" estas kreita tra aksiomoj. "Areo" povas esti difinita kiel funkcio el kolekto M de speciala tipo de ebenaj figuroj (terminigite kiel mezureblaj surfacoj) al la serio de reelaj nombroj, kio plenumas la jenajn proprecojn:

• Por ĉiu S en M, a(S) ≥ 0.
• Se S kaj T estas en M tiam estas ankaŭ S ∪ T kaj S ∩ T, kaj ankaŭ a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Se S kaj T estas en M kun S ⊆ T tiam T − S estas en M kaj a(T−S) = a(T) − a(S).
• Se serio S estas en M kaj S estas kongrua kun T tiam T estas ankaŭ en M kaj a(S) = a(T).
• Ĉiu ortangulo R estas en M. Se la ortangulo havas longon h kaj larĝon k tiam a(R) = hk.
• Lasu Q esti serio ene de inter du ŝtupregionoj S kaj T. Ŝtupregiono estas formata el finita unio de apudaj ortanguloj restantaj sur komuna bazo, t.e. S ⊆ Q ⊆ T. Se estas unika nombro c tiel ke a(S) ≤ c ≤ a(T) por ĉiuj tiaj ŝtupregionoj S kaj T, tiam a(Q) = c.

Oni povas pruvi, ke tia areofunkcio fakte ekzistas.

Historio

La ideo ke la areo estas la mezuro kiu havigas la grandon de la regiono enmetita en geometriaj figuroj devenas de la Antikveco. En la antikva Egipto, post la ĉiujara kreskiĝo fare de la rivero Nilo kiu inundis la kampojn, aperis la neceso kalkuli la areon de ĉiu agrikulutra terpeco por restaŭri ties limojn; por solvi tion, la egiptoj inventis la geometrion, laŭ Herodoto.

La maniero kalkuli la areon de plurlatero kiel la adicio de la areoj de trianguloj, estas metodo kiu estis proponita por la unua fojo fare de la greka fakulo Antifono ĉirkaŭ la jaro 430 a.n.e. Kalkuli la areon de kurba figuro generas plian malfacilecon. La elĉerpa metodo konsistas en la enmeto de plurlateroj en la geometria figuro, pligrandigi la nombron de flankoj de tiuj plurlateroj kaj kalkuli la celitan areon. Per tiu sistemo konata kiel elĉerpa metodo de Eŭdokso, oni sukcesis atingi alproksimigon por kalkuli la areon de disko. Tiu sistemo estis uzata poste fare de Arkimedo por solvi aliajn similajn problemojn, same kiel la proksimuman kalkulon de la nombro π.

Area de ebenaj figuroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Geometria figuro.

Areo de triangulo

Kalkulo de la areo de triangulo $A={\tfrac {b\cdot h}{2}}$

Areoj en kvadratita papero.

• La areo de triangulo estas egala al la duon-produto inter la longo de unu bazo kaj la alto relativa al tiu:

$A={\frac {b\cdot h}{2}}$

kie b estas la bazo de la triangulo kaj h estas la alto koresponda al tiu bazo (oni povas konsideri ajnan lateron kiel bazo).

• Se la triangulo estas orta, la alto koincidas kun unu el la katetoj, pro kio la areo estas egala al la duonproduto de la katetoj:

$A={\frac {a\cdot b}{2}}$

kie a kaj b estas la katetoj.

• Se oni konas la longon de ties lateroj, oni povas apliki la formulon de Heron.

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

kie a, b, c estas la valoroj de la longoj de ties lateroj, s = ½ (a + b + c) estas la duonperimetro de la triangulo.

• Se la triangulo estas egallatera, la areo estas egala al unu kvarono de la kvadrato de unu latero por la kvadrata radiko de 3:

$A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}$

kie a estas unu latero de la triangulo.

Area de kvarlatero

Trapezoido.

• La areo de trapezoido aŭ de ajna kvarlatero estas egala al la duonproduto de ties diagonaloj por la sinuso de la angulo kiun ili formas.

$A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\cdot \sin \theta }{2}}$

La areo estas atingebla ankaŭ pere de triangulado:

$A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}$

Estante:

$\alpha \,$ la angulo inter la lateroj $a\,$ kaj $d\,$.

$\gamma \,$ la angulo inter la lateroj $b\,$ kaj $c\,$.

• La ortangulo estas plurlatero kies anguloj estas ĉiuj de 90º, kaj la areao estas egala al la produto de du el ties sinsekvaj lateroj a kaj b:

$A={a\cdot b\,}$

• La rombo estas plurlatero kies 4 lateroj estas egalaj, kaj ties areo estas la duonproduto de ties du diagonaloj:

$A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}$

• La kvadrato estas la regula plurlatero de kvar lateroj; ĝi estas samtempe ortangulo kaj rombo, pro kio ĝia areo povas estis kalkulata sammaniere kiel tiuj de la ortangulo kaj de la rombo. Partikulare, ĉar ties lateroj estas egalaj, oni uzas la formulon:

$A=a\cdot a\,=a^{2}$

• La romboido havas areon kalkuleblan el la produto de unu de ties lateroj por la respektiva alto:

$A=b\cdot h\,$

• La trapezo, kiu havas du malajn laterojn paralelajn inter si kaj aliajn du neparalelajn laterojn, havas areon havigitan per la duonproduto de ties paralelaj lateroj multobligita por la distanco inter ili (alto):

$A={\frac {a+b}{2}}\cdot h$

La areo de trapezo povas esti kalkulita kiel longo de la meza linio multiplikita per la distanco laŭ perpendikularo inter la paralelaj lateroj. Ĉi tio donas kiel speciala okazo la konatan formulon por la areo de triangulo, per konsidero de triangulo kiel degenera trapezo ĉe kiu unu el la paralelaj lateroj estas malpligrandigita en punkton. Tial, se a kaj b estas la du paralelaj lateroj kaj h estas la distanco (alto) inter la paralelaj lateroj, la area formulo estas:

A= (a+b)h/2

Areo de la disko kaj de la elipso

La areo de disko, nome tiu limigita de cirklo, estas kalkulebla pere de la jena matematika esprimo:

$A=\pi r^{2}\,$

La areo limigita inter la bildo de du kurboj estas kalkulebla pere de la diferenco inter la integraloj de ambaŭ funkcioj.

La areo limigita de elipso estas simila kaj akirebla kiel produto de la duono de la plej granda akso por la duono de la malplej granda akso multobligitaj por π:

$A={\ \pi ab}$

Areo limigita inter du funkcioj

Metodo por atingi la areon limigita inter du funkcioj, estas uzante la integralan kalkulon:

${\text{Areo}}(a,b)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$

La rezulto de tiu integralo estas la areo enhavita inter la kurboj: $f(x)\,$ kaj $g(x)[<f(x)]\,$ en la intermezo $[a,b]\,$.

Ekzemplo

Se oni deziras trovi la areon limigitan inter la akso x kaj la funkcio $f(x)=4-x^{2}$ en la intermezo $[-2;2]$, oni uzas la antaŭe menciitan ekvacion, tiuokaze: $g(x)=0$ tiam pritaksante la integralon, oni akiras jenon:

$A(-2,2)=$ $\int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=$ $2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=$ $2\left[4x-{\cfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}=$ $2\left[8-\left({\cfrac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]=$ ${\cfrac {32}{3}}$

Pro kio oni konkludas, ke la areo limigita estas $32/3$.

Ankaŭ la volumeno enfermita inter du funkcioj povas esti atingebla per la kalkulo de simila integralo.

Rilato areo-perimetro

Difinita simpla kurbo enfermita en la eŭklida ebeno, oni povas pruvi, ke ties longo aŭ perimetro de la areo enfermita kaj la propra areo enfermita kongruas kun la rilato:

${\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}$

La egaleco estas atingebla nur por disko; la ceteraj figuroj kaj eblaj formoj plenumas plej striktan malegalecon.

Disvastiĝa areo

Disvastiĝa areo estas esprimo por difini tiun teran surfacon de bestospecioj, kiun ili konkeris, tie ili disvastiĝis. Por tiu koncepto oni uzas ankaŭ la terminon arealo.

Bildaro

• 
  Komparoj de kvadrata futo kaj kvadrata jardo kun kvadrata metro.
• 
  La areo de ortangulo estas la produto de la longo kaj la larĝo
• 
  La areo de kvadrato estas la kvadrato de la laterolongo
• 
  La areo de triangulo estas la duono de la produto de la latero kaj la alto rilata al tiu latero
• 
  La aero de elipso = $\pi ab$; la aero de la cirklo = $\pi a^{2}$

Literaturo

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, eld. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.

Eksteraj ligiloj

• http://www.shurey.com/Soft/JavaScript/DoRyouKou/square.html（Areo）
• En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Área en la hispana Vikipedio.