En matematiko, serio de Taylor estas prezento de funkcio kiel serio (malfinia sumo de termoj kalkulitaj laŭ valoroj de derivaĵoj de la funkcio je sola punkto. Se la punkto kie estas kalkulitaj derivaĵoj estas nulo, la serio estas nomata ankaŭ kiel serio de Maclaurin.
f(n)(a) estas la n-a derivaĵo de f komputita je punkto a; la nula derivaĵo de f estas difinita kiel la f mem.
Ĉi tie estas uzataj (x-a)0=1 kaj 0!=1.
Sub certaj kondiĉoj (vidu sube), serio de Taylor de f(x) egalas al f(x) mem por ĉiuj x sufiĉe proksimaj al a.
Propraĵoj
Serio de Taylor ne estas ĝenerale nepre konverĝa serio, sed ofte estas. La limigo de konverĝa serio de Taylor de funkcio f ĝenerale ne nepre estas egalas al la funkcia valoro f(x), sed ofte ĝi estas. Se ĉi tiu serio konverĝas por ĉiu x en najbaraĵo de a (en la intervalo (a-r, a+r)) kaj la sumo estas egala al f(x), la funkcio estas nomata kiel analitika funkcio en ĉi tiu najbaraĵo. Se f(x) estas egala al ĝia serio de Taylor ĉie ĝi estas nomata kiel tuta funkcio.
La logaritmo, tangento kaj tangentarko ne estas tutaj funkcioj. Por ĉi tiuj funkcioj la serio de Taylor ne konverĝas se x estas sufiĉe malproksime de a.
La sinusa funkcio sin(x) (blua) estas aproksimita per ĝia polinomo de Taylor de ordo 7 (roza) por plena periodo centrita ĉirkaŭ la punkto a = 0. La roza kurbo estas la polinomo de ordo 7:
.
Pro tio ke signoj de termoj estas alternaj, la eraro de ĉi tiu proksimuma kalkulado estas ne pli granda ol la unua forĵetita termo . Tiel por |x|<1, la eraro estas ne pli granda ol 3·10-6.
La polinomoj de Taylor por log(1+x). En kontrasto al sinuso, ĉi tiuj proksimumigoj konverĝas al la funkcio nur por -1 < x ≤ 1. Por x > 1, la polinomo de Taylor de pli alta grado estas pli malbona proksimumigo.
Serio de Taylor povas esti uzata por kalkuli la valoron de la funkcio en la respektiva regiono. La partaj sumoj (la polinomoj de Taylor) de la serio povas esti uzataj kiel proksimumigoj de la funkcio (eble per reordigo de la polinomo en la formon de Ĉebiŝev kaj komputo per la algoritmo de Clenshaw). Ili estas sufiĉe bonaj se sufiĉe multaj termoj estas inkluzivitaj.
La teoremo de Taylor donas diversaj de ĝeneralaj baroj pri la amplekso de la eraro de aproksimado de funkcio per ĝia polinomo de Taylor de iu ordo.
Ekzistas malfinie diferencialeblaj funkciojf(x) kies serio de Taylor konverĝi, sed estas ne egala al f(x). Ekzemple, la funkcio difinita kiel f(x) = e-1/x² se x≠0 kaj f(0) = 0 estas ekzemplo de ne-analitika glata funkcio. Ĉiuj ĝiaj derivaĵoj je x=0 estas nuloj , tiel la serio de Taylor de f(x) je a=0 estas nulo ĉie, kvankam la funkcio estas nenula por ĉiu x≠0. Ĉi tio ne estadas ĉe serio de Taylor en kompleksa analitiko. En kompleksa ebeno, la areo de konverĝo de serio de Taylor estas ĉiam disko (eble kun radiuso 0), kaj se la serio de Taylor konverĝas, ĝi konverĝas al la funkcia valoro. La funkcio f(z) = e-1/x² ne proksimiĝas al 0 se z proksimiĝas al 0 laŭ la imaginara akso, do ĉi tiu funkcio estas ne kontinua en 0 se ĝi estas konsiderata kiel funkcio de kompleksa variablo.
Pro tio ke ĉiu vico de reela aŭ kompleksaj nombroj povas aperi kiel koeficientoj en la serio de Taylor de malfinie diferencialebla funkcio difinis sur la reela linio, la konverĝa radiuso de serio de Taylor povas esti nulo. Estas eĉ malfinie diferencialeblaj funkcioj difinitaj sur la reela linio kies serio de Taylor havas konverĝan radiuson 0 ĉie.
Iuj funkcioj ne povas esti skribita kiel serio de Taylor ĉar ili havi specialaĵojn; en ĉi tiuj okazoj tamen povas ekzisti seria prezento se konsideri ankaŭ negativajn potencojn de la variablo, vidu en serio de Laurent. Kaj la pli supre konsiderata funkcio f(x) = e-1/x² povas esti skribita kiel serio de Laurent.
Serioj de Taylor de iuj funkcioj
La serioj en ĉi tiu ĉapitro estas je a=0, se ne estas skribite alie. Ili estas validaj ankaŭ por kompleksaj valoroj de x.