Analitiko

Gottfried Wilhelm Leibniz

Isaac Newton

Augustin Louis Cauchy

Bernhard Riemann

Analitiko, matematika analizo aŭ simple analizo (el la greka: ανάλυσις análysis, solvado, greke: ἀναλύειν analýein, solvi) estas branĉo de matematiko, kiu temas pri reelaj kaj kompleksaj nombroj kaj iliaj funkcioj. Ĝi komenciĝis per la rigorigo de la infinitezima kalkulo kaj studas konceptojn kiel ekzemple kontinuecon, derivaĵojn kaj integralojn.

Historio

En la antikva epoko kaj en la mezepoko grekaj kaj hindaj matematikistoj interesiĝis pri infinitezima kalkulo kaj atingis promesplenajn sed fragmentajn rezultojn. Pro historiaj kialoj liaj tujaj posteuloj ne povis uzi tiujn rezultojn kaj daŭrigi la malkovron.

Moderna analitiko estis fondita en la 17-a jarcento per infinitezima kalkulo fare de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz. En la 17-a jarcento la temoj de analitiko, kiel infinitezima kalkulado, diferencialaj ekvacioj, la analitiko de Fourier, kaj tiel plu evoluiĝis ĉefe el praktikaj laboroj. Teknikoj de infinitezima kalkulo etis uzataj sukcese por alproksimiĝi problemojn.

Dum la tuta 18-a jarcento la difino de funkcioj estis debata temo inter matematikistoj. En la 19-a jarcento Cauchy estis la unua, kiu donis logikan fondaĵon al infinitezima kalkulado enkondukinte la koncepton de la koŝia vico. Li komencis ankaŭ la formalan teorion de kompleksa analitiko. Poisson, Liouville, Fourier kaj aliaj studis ekvaciojn kaj harmonian analitikon.

Meze de la 19-a jarento Riemann enkondukis sian teorion pri integrado, la integralon de Riemann. Dum la tria triono de la 19-a jarcento, analitiko aritmetikiĝas fare de Karl Weierstrass, kiu opiniis ke geometria rezonado estis misgvida. Li enkondukis ankaŭ la difinon de ε-δ de limeso. Sekve matematikistoj ekzorgis pri la fakto, ke ili supozis senpruve la ekziston de kontinua vico de realaj nombroj.

Konceptoj de analitiko

Aroteorio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Aroteorio.

Funkcioj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Funkcio (matematiko).

Limeso

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Limeso.

Serio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Serio (matematiko).

Derivaĵo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Derivaĵo (matematiko).

Integralo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Integralo.

Serio de Taylor

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Serio de Taylor.

Subfakoj de analitiko

Analitiko konsistas krom el la diferenciala kaj la integrala kalkuloj el aliaj subfakoj. Inter tiuj estas la teorio pri kutimaj kaj partaj diferencialaj ekvacioj, variada kalkulo, vektora kalkulo, mezura analitiko kaj funkcionala kalkulo.

Infinitezima kalkulo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Infinitezima kalkulo.

Diferenciala kalkulo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Diferenciala kalkulo.

Ĉe lineara funkcio, kiel ekzemple rekto

$g(x)=mx+c$

estas m la inklino kaj c la y-aksa sekcio aŭ ordinata sekkcio de la rekto. Kiam estas nur du punktoj $(x_{0},y_{0})$ kaj $(x_{1},y_{1})$ sur rekto, tiam eblas kalkuli la inklinon per

$m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.$

Ĉe ne-linearaj funkcioj, kiel ekzemple $f(x)=x^{2}$ ne eblas tiel kalkuli la inklinon, ĉar ili priskribas kurbiĝojn, kiuj do ne estas rektoj. Tamen eblas meti en unu punkton $(x_{0},f(x_{0}))$ tanĝanton, kiu denove estas rekto. La problemo estas nun kalkuli la inklinon de tia tanĝanto en unu loko $x_{0}$. Se oni elektas lokon $x_{1}$ tute proksiman al $x_{0}$ kaj metas rekton tra la punktoj $(x_{0},f(x_{0}))$ kaj $(x_{1},f(x_{1}))$, tiam la inklino de tiu sekanto estas la inklino de la tanĝanto. La inklino de la sekanto estas (vidu supre)

$m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.$

Tiun kvocienton oni nomas diferenciala kvociento aŭ meza modifa indico. Kiam oni alproksimigas la lokon $x_{1}$ pli kaj pli al $x_{0}$, tiam per la diferenciala kvociento troveblas la inklino de la tanĝanto. Do:

$f'(x_{0})=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

kio estas la diferenciala kvociento de f en $x_{0}$. La esprimo $\lim _{x\rightarrow x_{0}}$ signifas, ke x alproksimiĝas pli kaj pli al $x_{0}$, tio estas, ke la distanco inter x kaj $x_{0}$ iĝas pli kaj pli malgranda. Eblas diri ankaŭ, ke: „x alproksimiĝas $x_{0}$“. La indiko $\lim$ signifas la limon.

$f^{\prime }(x_{0})$ estas la limo de la diferenciala kvociento.

Ekzistas ankaŭ kazoj, kie tiu limo ne ekzistas. Tial oni enkondukis la terminon de diferencialeblo. Funkcio f estas diferencialebla en la loko $x_{0}$, se ekzistas la limo $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$.

Integrala kalkulo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Integrala kalkulo.

Integrala kalkulo temas pri la kalkulo de areoj sub funkcigrafoj. Tian areon oni povas alproksimiĝi pere de sumoj de partaj areoj kaj atingas ĉe la limvaloro la integralon, por klaso de funkcioj, la tiel nomataj integreblaj funkcioj, kiu inkluas la kontinuajn funkciojn. En tiu klaso, difino de integralo estas

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right).$

Harmona analitiko

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Harmona analitiko.

Funkcia analitiko

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Funkcia analitiko.

Variada kalkulo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Variada kalkulo.

Mezurteorio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Mezuro (matematiko).

Kompleksa analitiko

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kompleksa analitiko.

Nenorma analitiko

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Nenorma analitiko.

Nombra analitiko

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Nombra analitiko.

Analitika teorio de nombroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Analitika teorio de nombroj.

Plurdimensia analitiko

Ekzemplo de plurdimensia funkcio: $f(x,y)=abs(x)^{y}$

Multaj lernolibroj distingas analitikon unudimensia kaj analitikon plurdimensian. Tiu distingo ne rilatas al fundamentaj konceptoj, tamen obliĝas la matematika multeco kiam temas pri pluraj dimensioj. La plurdimensia analitiko observas funkciojn $\textstyle f:D\subseteq \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ de pluraj realaj variabloj, bildigitaj ofte kiel vektoro aŭ n-opo.

La terminoj de normigita spaco, de limvaloro de vico, de kontinua funkcio kaj de limvaloroj analoge ĝeneraligeblas en pluraj dimensioj.

Gravaj terminoj el la plurdimensia diferenciala kalkulado estas la direktoderivaĵo kaj la parta derivaĵo, kiuj estas derivaĵoj en variablo aŭ direkto. La teoremo de Schwarz certigas, kiam partaj aŭ direktoderivaĵoj de diversaj direktoj interŝanĝeblas. Krome gravas la termino de totala derivaĵo. Ĝi estas interpretebla kiel loka adapto de lineara bildigo al kurbiĝo de plurdimensia funkcio kaj estas la plurdimensia analogaĵo de unudimensia derivaĵo. La teoremo de implicitaj funkcioj pri la loka solvo de implicitaj ekvacioj estas grava teoremo de la plurdimensia analitiko kaj bazo de la diferenciala geometrio.

En la plurdimensia analitiko ekzistas diversaj integralaj terminoj kiel la kurba integralo, la surfaca integralo kaj la spaca integralo.

Bibliografio

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0
• Jean Dieudonné: Foundations of Modern Analysis (Fondaĵoj de moderna analitiko), Academic Press, U.S., 1968 ISBN 0-12-215530-0
• Otto Forster: Analysis 1, Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis (Lernolibro pri analitiko), Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
• Stefan Hildebrandt: Analysis, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
• Konrad Königsberger: Analysis, vol. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
• Vladimiro Ivanoviĉ Smirnov: Lehrgang der höheren Mathematik (Instruo pri alta matematiko), Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2
• Wolfgang Walter: Analysis, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.

Vidu ankaŭ

• Matematiko
• Nenorma anlitiko
• Limeso
• Serio
• Derivaĵo
• Integralo
• Serio de Taylor

Eksteraj ligiloj

• Matematikaj metodoj por sciencistoj kaj inĝenieroj
• calculus.org - La retejo de Calculus ĉe la universitato de Kalifornio kun ligiloj al aliaj retpaĝoj