Kahelaro (geometrio)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En geometrio, kahelaro estas enspacado de spacoproksima pakigo de hiperpluredraj facetoj tiel ke ne estas ne breĉoj kaj ĉe najbaraj facetoj koincidas respektivaj eroj - vertico kun vertico, latero kun latero ktp.

Kahelaroj ekzistadas en ĉiu kvanto de dimensioj.

Kahelaroj estadas en eŭklida spaco, hiperbola spaco kaj sur sfero. Kahelaro de (n-1)-dimensia sfero similas al n-dimensia hiperpluredro. Kahelaro de eŭklida spaco povas esti konsiderata kiel malfinia hiperpluredro.

Noto ke en multaj lingvoj estas diversaj aŭ specifaj vortoj por kahelaroj de diversaj dimensioj (simile al tio kiel "plurlatero" estas specifa vorto por 2-dimensia hiperpluredro). Tamen ĉi tie la vorto "kahelaro" estas uzata por ĉiuj dimensioj.

(n-1)-dimensia kahelaro konsistas el (n-1)-dimensiaj facetoj. Ĉi tiuj facetoj estas mem hiperpluredroj, kies facetoj estas (n-2)-dimensiaj krestoj de la originala kahelaro. Ĉiu kresto ekestas kiel la komunaĵo de du facetoj (sed la komunaĵo de du facetoj ne nepre esti kresto). Krestoj estas denove hiperpluredroj kies facetoj estas (n-3)-dimensiaj kulminoj de la originala kahelaro, kaj tiel plu.

Dimensio de ero de (d-1)-kahelaro Ero
0 Vertico
1 Latero
2 Edro
3 Ĉelo
... ...
n ( n = 2, 3, ..., d-1 ) n-hiperĉelo
... ...
d-3 Kulmino
d-2 Kresto
d-1 Faceto

Eblas enspacigi la ebenon per plurlateroj kiuj ne kuniĝas je siaj verticoj, ekzemple uzante ortangulojn, kiel en brika mura ŝablono:

Wallpaper group-cmm-1.jpg

Estante konsistanta el kvaranguloj, ĉi tio ne estas konsiderata kiel vera kahelaro. Sed eblas konsideri, ke la sama bildo konsistas el seslateroj, aldonante po unu verticon en mezo de ĉiu longa latero de ĉiu kvarlatero (anguloj de la seslateroj je ĉi tiuj verticoj estas 180°). Tiam rezultiĝas jam la vera kahelaro.

Klasifiko[redakti | redakti fonton]

Estas malfinie multaj kahelaroj, kiu ne estas plene klasifikitaj. La pli regulaj aĵoj allogitas pli multan intereson, sed riĉa kaj diversa sortimento de la aliaj ankoraŭ ne estas esplorita.

La plej simplaj n-dimensiaj kahelaroj estas konstruataj surbaze de (n-1)-dimensiaj kahelaroj kiel aroj de paralelaj tavoloj de prismoj.

Uniform tiling 63-t01.png
2-dimensia senpintigita seslatera kahelaro
Truncated hexagonal prismatic honeycomb.png
3-dimensia prismigita senpintigita seslatera kahelaro, konstruita surbaze de la senpintigita seslatera kahelaro
Uniform tiling 44-t0.png
2-dimensia kvadrata kahelaro
Partial cubic honeycomb.png
3-dimensia kuba kahelaro (kvadrata prisma kahelaro), konstruita surbaze de la kvadrata kahelaro.
Tesseractic tetracomb.png
4-dimensia 4-hiperkuba kahelaro, konstruita surbaze de la kuba kahelaro (estas montrita perspektiva projekcio de 3x3x3x3 ruĝa kaj blua ŝakluda tabulo).

Uniformaj kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Uniforma kahelaro estas kahelaro komponita el uniforma hiperpluredro kiel facetoj kaj kiu estas vertico-transitiva, do ĉe kiu ĉiuj verticoj la samaj.

Estas 11 konveksaj uniformaj kahelaroj de eŭklida 2-dimensia ebeno. El ĉi tiuj, 3 estas regulaj (triangula kahelaro, kvadrata kahelaro, seslatera kahelaro) kaj 8 duonregulaj.

Estas 28 konveksaj uniformaj kahelaroj de eŭklida 3-spaco. El ĉi tiuj, nur unu estas regula - la kuba kahelaro kaj unu kvazaŭregula - okedro-kvaredra kahelaro.

Cubic honeycomb.png
Kuba kahelaro
Tetrahedral-octahedral honeycomb.png
Kvaredro-okedra kahelaro

Spaco-enspacantaj pluredroj[redakti | redakti fonton]

Kahelaro ĉe kiu ĉiuj ĉeloj estas identaj estas ĉelo-transitiva. Ĉelo de ĉi tia 3-dimensia kahelaro, estas nomata kiel spaco-enspacanta pluredro (kvankam ĉelo-transitiva kahelaro povas esti ankaŭ de pli alta dimensio). Konataj ekzemploj estas:

Truncated octahedra.jpg
Dutranĉita kuba kahelaro (senpintigitaj okedroj)
Rhombic dodecahedra.jpg
Romba dekduedra kahelaro (rombaj dekduedroj)
Rhombo-hexagonal dodecahedron tessellation.png
Rombo-seslatera dekduedra kahelaro (rombo-seslateraj dekduedroj)

Nekonveksaj kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Dokumentitaj ekzemploj estas malmultaj. Du klasoj povas esti distingitaj:

  • Nekonveksaj facetoj, pakitaj sen interkovroj. Ĉi tiuj inkluzivas kahelaron konsistantan el la malgrandaj steligitaj rombaj dekduedroj.
  • Interkovrantaj facetoj kies pozitiva kaj negativa densecoj formas unuforme densa kontinuaĵon, inter ili al interkovrantaj kahelaroj de la ebeno.

Hiperbolaj kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Hiperbola spaco kondutas iom malsame de ordinara eŭklida spaco, kun ĉeloj adaptanta kune laŭ iom malsamaj reguloj. Kelkaj hiperbolaj kahelaroj estas menciitaj en la listo de regulaj hiperpluredroj.

Dualaj kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Por n-dimensia kahelaro povas ekzisti la duala kahelaro. Eroj de la duala kahelaro estas respektivaj laŭ sia kvanto kaj konekseco al eroj de la originala kahelaro:

Ero de la originala kahelaro Ero de la duala kahelaro
Faceto Vertico
Krestoj Latero
... ...
m-hiperĉelo (n-m)-hiperĉelo
... ...
Latero Kresto
Vertico Faceto

La reguloj de kreo de la dualaj kahelaroj estas la samaj kiel reguloj de kreo de la dualaj hiperpluredroj. Duala de la duala kahelaro estas denove la originala kahelaro.

Dum la dualigo en 2 dimensioj, edroj estas anstataŭigitaj per verticoj, verticoj estas anstataŭigitaj per edroj. La originalaj lateroj estas anstataŭigitaj per la novaj lateroj, kiuj intersekcas la originalajn laterojn.

Kah 3 6.png
Regulaj triangula kahelaro (blua) kaj seslatera kahelaro (ruĝa), dualaj unu al la alia
Kah 4 4.png
Du regulaj kvadrataj kahelaroj (blua kaj ruĝa), dualaj unu al la alia

En 3 dimensioj, ĉeloj estas anstataŭigitaj per verticoj, edroj estas anstataŭigitaj per lateroj, lateroj estas anstataŭigitaj per edroj, verticoj estas anstataŭigitaj per ĉeloj.

Por n-dimensia kahelaro estas konstruata surbaze de (n-1)-dimensia kahelaro kiel aro de paralelaj tavoloj de prismoj, la duala kahelaro estas tiu la same konstruita el la duala de la (n-1)-dimensia kahelaro.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]