Aritmetiko

Aritmetikajn tabelojn por infanoj, Laŭzano, 1835.

Aritmetiko estas branĉo de matematiko, studanta la naturon kaj proprecojn de nombroj kaj speciale la proprecojn de la tradiciaj operacioj kiujn oni faris pere de ili — nome adicio, subtraho, multipliko kaj divido. Ĝi inkluzivas ankaŭ la studon pri algoritmoj kaj operacioj super entjeroj kaj frakcioj, kvocientoj, proporcioj, procentoj. La nomo devenas de la vorto greke ἀριθμός arithmos, kiu signifas "nombron" en greka lingvo.

La moderna aritmetiko ne okupiĝas nur pri elementaj kalkuloj, sed pri gravaj ecoj de entjeroj (primeco, plej granda komuna divizoro, primaj faktoroj ktp.) kaj similaj ecoj de aliaj objektoj (ekzemple elementoj de ringoj). Evoluo de Aritmetiko venigis al apartigo de novaj matematikaj branĉoj: Algebro kaj Nombroteorio.

Historio

La prahistorio de aritmetiko estas limigita al malgranda nombro de artifaktoj kiuj povas indiki la koncepton de adicio kaj subtraho, kies plej bone konata restaĵo estas la Iŝanga osto el centra Afriko, kiu datas el iam inter 20,000 kaj 18,000 jaroj a.K., kvankam ties interpretado estas disputata.

La plej fruaj verkitaj registroj indikis ke jam en Antikva Egipto kaj Babilono oni uzis ĉiujn operaciojn de elementa aritmetiko tiom frue kiom ĉe 2000 a.K. Tiuj artifaktoj ne ĉiam pruvas la specifan procezon uzitan por solvi numerajn problemojn, sed la karakteroj de la partikulara nombrosistemo forte influas la komplikecon de metodoj. La hieroglifa sistemo de la egiptaj ciferoj, same kiel la postaj Romaj ciferoj, descendis el la kalkulaj markoj uzitaj populare por kalkuladi. Ambaŭokaze, tiu deveno rezultis en valoroj kiuj uzis dekuman bazon, sed ne inkludis pozician nombrosistemon. Kompleksa kalkulado pere de romaj ciferoj postulis la helpon de kalkultabulo aŭ de abako por havi la rezultojn.

La plej fruaj nombrosistemoj kiuj inkludis pozician nombrosistemon ne estis dekumaj, kiel la sesdekuma sistemo (kun bazo de 60) de la Babilonaj ciferoj kaj la dudekuma sistemo (kun bazo de 20) en kiu konsistis la ciferoj de Majaoj. Pro tiu pozici-valora koncepto, la kapablo reuzi la samajn ciferojn por diferencaj valoroj kontribuis al pli simplaj kaj pli efikaj metodoj de kalkulo.

Skulptaĵo reprezentanta Eŭklidon, Oxford University Museum.

La kontinua historia disvolvigo de la moderna aritmetiko startas ĉe la Helenisma Epoko de Antikva Grekio, kvankam ĝi originiĝis multe pli poste ol la menciitaj ekzemploj de Babilonanoj kaj Egiptianoj. Antaŭ la verkoj de Eŭklido de ĉirkaŭ la jaro 300 a.K., Grekaj matematikistoj koincidis kun la filozofiaj kaj mistikismaj kredoj. Por ekzemplo, Nikomaĥo resumis la vidpunktojn de la pli frua Pitagorisma alproksimiĝo al nombroj, kaj ties rilataro de unu kun alia, en sia Enkonduko al Aritmetiko.

La Grekaj ciferoj estis uzitaj de Arkimedo, Diofanto kaj aliaj en pozicia notacio ne tre diferenca el la nuntempa. Mankis al la antikvaj grekoj simbolo por nulo ĝis la Helenisma Epoko, kaj ili uzis tri apartajn seriojn de simboloj kiel ciferoj: nome unu serio por la lokoj de unuoj, alia por la lokoj de dekoj, kaj alia tria por la lokoj de centoj. Por la loko de miloj ili uzis la simbolojn de la unuoloko, kaj tiel plu. Ties aldona algoritmo estis sama al tiu nuntempa, kaj ties multiplika algoritmo estis nur tre malmulte diferenca. Ties longa divida algoritmo estis la sama, kaj la algoritmo por kalkuli kvadratajn radikojn, populare uzita ĝis tiom ĵuse kiom ĝis la 20a jarcento, estis konata jam de Arkimedo, kiu eble inventis ĝin. Li fakte preferis ĝin al la metodo de Herono de sinsekva alproksimiĝo ĉar, kalkulita, cifero ne ŝanĝas, kaj la kvadrataj radikoj de perfektaj kvadratoj, kiaj 7 485 696, finas tuj kiel 2736. Ĉe ciferoj kun frakcia parto, kiel 546,934, ili uzis negativajn potencojn de 60 anstataŭ negativajn potencojn de 10 por la frakcia parto, nome 0,934.

La antikvaj ĉinoj progresis en aritmetikaj studoj el la Dinastio Ŝang kaj pluis tra la Dinastio Tang, el bazaj ciferoj al antaŭenirinta algebro. La antikvaj ĉinoj uzis pozician notacion similan al tiu de la grekoj. Ĉar ankaŭ al ili mankis simbolo por nulo, ili havis unu serion de simboloj por la loko de unuoj, kaj duan serion por la loko de dekoj. Por por la loko de centoj, ili reuzis la simbolojn de la loko de unuoj, kaj tiel plu. Iliaj simboloj estis bazitaj sur la antikvaj kalkulbastonoj. Estas komplika demando determini precize kiam la ĉinoj ekkalkulis per pozicia reprezentado, sed ĝi certe okazis definitive antaŭ la jaro 400 a.K. La antikvaj ĉinoj estis la unuaj kiuj klare malkovris, komprenis, kaj aplikis negativajn nombrojn kiel oni klarigas en la verko Naŭ ĉapitroj pri la matematika arto (Ĝiuĵang Suanŝu), kiu estis verkita de Liu Hui.

La laŭgrada disvolvigo de la Hind–arabaj ciferoj sendepende de la difinita loko-valora koncepto kaj pozicia notacio, kiu kombinis la pli simplajn metodojn por kalkuloj per dekuma bazo kaj la uzadon de cifero reprezentante nulon. Tio ebligis ke la sistemo konsiste reprezentu kaj grandajn kaj malgrandajn entjerojn. Tiu alproksimiĝo finfine anstataŭis ĉiujn aliajn sistemojn. En la komenco de la 6a jarcento p.K., la hindia matematikisto Aryabhata aligis ekzistintan version de tiu sistemo en sia verko, kaj eksperimentis per diversaj notacioj. En la 7a jarcento, Brahmagupta establis la uzadon de 0 (nulo) kiel aparta cifero kaj determinis la rezultojn por multiplikado, divido, sumo kaj subtraho de nulo kaj de ĉiuj aliaj ciferoj, escepte ĉe la rezulto de divido per nulo. Liatempa, la siriaka episkopo Severo Seboĥt (650) diris, "Hindianoj posedas kalkulmetodon kiu ne estas sufiĉe laŭdita. Ties racia sistemo de matematiko, aŭ ties kalkulmetodo. Mi celas la sistemon kiu uzas naŭ simbolojn." Ankaŭ la araboj lernis tiun novan metodon kaj nomis ĝin ĥesab (la arablingva radiko por kalkulo).

La Radokalkulilo de Leibniz estis la unua kalkulilo kiu povis plenumi la kvar aritmetikajn operaciojn.

Kvankam la Codex Vigilanus priskribis fruan formon de Arabaj ciferoj (sen 0) ĉirkaŭ la jaro 976, Leonardo de Pisa (Fibonacci) estis ĉefa respondeco pri la etendo de ties uzado tra Eŭropo post la publikigo de sia libro Liber Abaci en 1202. Li verkis, "La metodo de hindianoj (latine Modus Indoram) surpasas ajnan konatan metodon por kalkuli. Ĝi estas mirinda metodo. Ili faras siajn kalkulojn uzante naŭ ciferojn kaj simbolon por nulo".

En la Mezepoko, aritmetiko estis unu el la sep liberaj artoj instruataj en universitatoj.

La florado de algebro en la mezepoka Islama mondo kaj en la renesanca Eŭropo estis elkreskaĵo de la enorma simpligo de kalkulado pere de dekuma notacio.

Variaj tipoj de iloj estis inventitaj kaj amplekse uzataj por helpi en la tasko de nombra kalkulado. Antaŭ la Renesanco, ili estis variaj tipoj de abakoj. Pli ĵusaj ekzemploj estas glitkalkuliloj, nomografoj kaj mekanikaj kalkuliloj, kiaj la paskala kalkulilo. Nuntempe, ili estis anstataŭitaj de elektronikaj kalkuliloj kaj komputiloj.

Aritmetikaj operacioj

La bazaj aritmetikaj operacioj estas adicio, subtraho, multipliko kaj divido. Ĉiuj el ili estas duargumenta operacio, t.e. ĝi ricevas du nombrojn kaj finkalkule eldonas alian trian. Kvankam oni inkludas ankaŭ pliajn antaŭnirintajn operaciojn, kiel manipulado de procentoj, kvadrataj radikoj, eksponentado, kaj logaritmaj funkcioj. Aritmetiko estas plenumita laŭ ordo de operacioj.

En matematiko, la bazaj duargumentaj operacioj estas la jenaj:

Adicio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Adicio.

La ĉefaj aritmetikaj operacioj estas adicio, subtraho, multipliko kaj divido.

Adicio estas operacio por trovi la sumon de nombroj aŭ kvantoj. La signo de adicio estas + (plus). Se oni adicias 5 kaj 3, oni ricevos 8. 5 kaj 3 estas la adiciatoj, 8 estas la sum-valoro. Precize, oni nomu la termon '5 + 3' sum-termon aŭ sum-esprimon, sed fak-mallonge ofte ankaŭ nur sumon.

La tradicia maniero koncerne la skribforman adicion - ekz-e de la naturaj nombroj 295 kaj 107 (dekume prezentitaj) - okazus jene:

${{\begin{matrix}\ &2_{\ }&9_{\ }&5\\+&1_{\color {Red}1}&0_{\color {Red}1}&7\end{matrix}} \over {\begin{matrix}\quad &4_{\ }&0_{\ }&2\end{matrix}}}$

La kalkulado reduktiĝas al relative facila (elementa) sumado de unu-ciferaj nombroj. Unu-cifera nombro de unuoj de la sum-valoro estas skribenda sub la sum-streko, kaj la unucifera nombro de dekoj estas ŝovenda maldekstren super la strekon. Tiu restaĵo estas la ŝovenda nombro (de:Übertrag). La ruĝaj ciferoj sur la bildo estas tia ŝovenda nombro (de dekoj), kiu estas ricevita post for-apartigo de la dekstraflanka cifero (nombro de unuoj).

Subtraho

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Subtraho.

Subtraho estas operacio por trovi la diferencon inter unua nombro (aŭ kvanto) kaj dua nombro (aŭ kvanto), en tiu ordo; la signo de subtraho estas − (minus). Ekz. ĉe la subtraho: 9−6=3 oni diras, ke 9 estas la malpliigato, 6 estas la subtrahanto, 3 estas la diferenco. Ĝia kontraŭa operacio estas la adicio.

Multipliko

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Multipliko.

En matematiko, multipliko aŭ obligo estas duargumenta operacio. Ĝi povas esti aplikata al diversaj objektoj. Argumentoj de multipliko estas faktoroj kaj la rezulto estas produto.

Multipliko povas esti skribata per kelkaj manieroj. Ekzemple multipliko de 5 kaj 2:

5×2

5·2

5*2

La asterisko (*) estas ofte uzata en komputiloj ĉar ĝi estas simbolo sur ĉiu klavaro, sed ĝi estas malofte uzata kiam oni skribas permane. Ĉi tiu uzado devenis en la programlingvo Fortrano.

Ofte, multipliko estas subkomprenata sen uzo de aparta signo. Ĉi tiu estas normo en algebro, ekzemple:

5x

xy

Ĉi tiu potenciale povas misigi se nomoj de variabloj povas havi pli ol unu literon. Ĉi tiu skribmaniero estas ne uzata inter nombroj sola: 52 ne estas 5 × 2. Kodo de la multiplika signo × estas deksesuma D7 en unikodo, en HTML ĝi povas esti skribata kiel ×.

Divido

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Divido.

En matematiko, aparte en elementa aritmetiko, divido estas aritmetika operacio kiu estas la inverso de multipliko.

Specife, se $c\times b=a$ kie b estas ne nulo, tiam

${\frac {a}{b}}=c$

kio estas, a dividita per b egalas al c. Oni povas pli koncize legi kiel "a sur b egala al c".

Ekzemple, ${\frac {6}{3}}=2$ ĉar $2\times 3=6\,$.

En la pli supre esprimo, a estas nomita la dividato aŭ numeratoro, b la dividanto aŭ denominatoro kaj c la kvociento.

Divido per nulo (do kiam la dividanto estas nulo) estas kutime ne difinita.

Divido estas plej ofte montrita per skribado de la dividato super la dividanto kun horizontalo inter ili. Ekzemple, a dividita per b estas skribata kiel ${\frac {a}{b}}$.

Maniero esprimi dividon tute sur unu linio estas skribi la dividaton, tiam oblikvon, tiam la dividanton, tiamaniere: $a/b\,$. Ĉi tio estas la kutima maniero precizigi dividon en plej multaj komputilaj programadaj lingvoj ĉar ĝi povas facile esti tajpita kiel simpla vico de signoj.

Presa variado kiu estas meze inter ĉi tiuj du formoj uzas oblikvon sed altigas la dividaton, kaj malaltigas la dividanton: ^a⁄_b

Iu ajn el tiuj formoj povas ordinare elmontri frakcion. Frakcio estas divida esprimo kie kaj dividato kaj dividanto estas entjeroj (kvankam tipe nomitaj la numeratoro kaj denominatoro respektive), kaj ne estas implico, ke la divido bezonas esti plue pritaksita.

Nombroteorio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Nombroteorio.

Nombroteorio estas branĉo de matematiko, dediĉita al la studo de proprecoj de entjeroj kaj ĝiaj ĝeneraligoj (ekz. algebraj entjeroj). La demandoj pri la plej granda komuna divizoro, la plej malgranda komuna oblo, malkomponado je primoj, prezento de natura nombro en iu certa formo, ĝia dividebleco kaj aliaj temoj estas studobjektoj de la nombroteorio. Ĝi inkluzivas ankaŭ: teorion de komparoj, diofantaj ekvacioj, ĉena frakcio, diofantaj alproksimiĝoj, transcendaj ekvacioj k.a. Ekde la 1980-aj jaroj nombroteorio trovis surprizajn aplikojn en ĉifrado (kriptografio); ĝi ebligis la unuajn nesimetriajn ĉifrojn. En speciala literaturo oni ofte trovas ankaŭ sinonimajn terminojn – Teorio de Nombroj aŭ Teorio pri Nombroj.

Aritmetikaj konceptoj

• Resto
• Fundamenta teoremo de aritmetiko
• aroj de nombroj
• nombrosistemo
• dekuma nombrosistemo
• aritmetika meznombro
• aritmetika vico

Operacioj

• adicio
• subtraho
• multipliko
• divido
• procento
• kvadrata radiko
• potenco
• logaritmo

Vidu ankaŭ

• Algebro
• Geometrio
• Kalkulo
• Matematiko
• Trigonometrio

Bibliografio

• Achatz, Thomas. (2005) Technical Shop Mathematics (angle). Industrial Press Inc.. ISBN 978-0-8311-3086-2.

• Adamowicz, Zofia. (1994) “The Power of Exponentiation in Arithmetic”, First European Congress of Mathematics: Paris, July 6-10, 1992 Volume I Invited Lectures (Part 1) (angle). Birkhäuser, p. 299–320. doi:10.1007/978-3-0348-9110-3_9. ISBN 978-3-0348-9110-3.

• Adhami, Reza. (2007) Fundamental Concepts in Electrical and Computer Engineering with Practical Design Problems (angle). Universal-Publishers. ISBN 978-1-58112-971-7.

• (2017) “Developing Students' Mathematical Skills Involving Order of Operations”, International Journal of Research in Education and Science, p. 373. doi:10.21890/ijres.327896. 

• Ang, Tian Se. (2004) Fleeting Footsteps: Tracing The Conception Of Arithmetic And Algebra In Ancient China (angle). World Scientific. ISBN 978-981-4483-60-5.

• Asano, Akihito. (2013) An Introduction to Mathematics for Economics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00760-4.

• Askew, Mike. (2010) “It Ain't (Just) What You Do: Effective Teachers of Numeracy”, Issues In Teaching Numeracy In Primary Schools (angle). McGraw-Hill Education (UK). ISBN 978-0-335-24153-8.

• Aubrey, Carol. (1999) A Developmental Approach to Early Numeracy: Helping to Raise Children's Achievements and Deal with Difficulties in Learning (angle). A&C Black. ISBN 978-1-4411-9164-9.

• Set Theory. Metaphysics Research Lab, Stanford University (2023). Alirita 19 November 2023.

• Barnes, Andrew J.. (2017) “Using Behavioral Economics to Improve People's Decisions About Purchasing Health Insurance”, Behavioral Economics and Healthy Behaviors: Key Concepts and Current Research (angle). Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-26952-6.

• Berch, Daniel B.. (3 October 2015) Development of Mathematical Cognition: Neural Substrates and Genetic Influences (angle). Academic Press. ISBN 978-0-12-801909-2.

• Bird, John. (2021) Bird's Engineering Mathematics (angle). Taylor & Francis. ISBN 978-0-367-64378-2.

• Bloch, Ethan D.. (2011) The Real Numbers and Real Analysis (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72177-4.

• . Introduction to Measurement. Carleton College Science Education Resource Center; American Association of Physics Teachers (2009). Alirita 2024-03-06.

• Booker, George. (2015) Teaching Primary Mathematics (angle). Pearson Higher Education AU. ISBN 978-1-4860-0488-1.

• Bradley, Michael J.. (2006) The Birth of Mathematics: Ancient Times To 1300 (angle). Infobase Publishing. ISBN 978-0-7910-9723-6.

• Brent, Richard P.. (2010) Modern Computer Arithmetic (angle). Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-49228-7.

• Bronshtein, I. N.. (2015) Handbook of Mathematics (angle). Springer. ISBN 978-3-662-46221-8.

• Brown, David. (2010) “The Measurement of Time and Distance in the Heavens Above Mesopotamia, with Brief Reference Made to Other Ancient Astral Science”, The Archaeology of Measurement: Comprehending Heaven, Earth and Time in Ancient Societies (angle). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11990-0.

• Bruderer, Herbert. (4a de Januaro 2021) Milestones in Analog and Digital Computing (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-030-40974-6.

• Budd, Christopher J.. (17a de Majo 2001) Mathematics Galore!: Masterclasses, Workshops and Team Projects in Mathematics and Its Applications (angle). OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850770-3.

• Elementary Number Theory. Springer (2014). Alirita 23an de Oktobro 2023.

• Natural Number. Springer (2016). Alirita 23an de Oktobro 2023.

• Arithmetic. Springer (2020). Alirita 23an de Oktobro 2023.

• Burgin, Mark. (2022) Trilogy Of Numbers And Arithmetic - Book 1: History Of Numbers And Arithmetic: An Information Perspective (angle). World Scientific. ISBN 978-981-12-3685-3.

• Cafaro, Massimo. (2018) “Techniques for Designing Bioinformatics Algorithms”, Encyclopedia of Bioinformatics and Computational Biology: ABC of Bioinformatics (angle). Elsevier. ISBN 978-0-12-811432-2.

• Cai, Tianxin. (2023) A Brief History of Mathematics: A Promenade Through the Civilizations of Our World (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-031-26841-0.

• Campbell, Stephen R.. (2012) “Understanding Elementary Number Theory in Relation to Arithmetic and Algebra”, Number Theory in Mathematics Education: Perspectives and Prospects (angle). Routledge. ISBN 978-1-136-50143-2.

• Campbell-Kelly, Martin. (2007) The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets (angle). OUP. ISBN 978-0-19-850841-0.

• (2022) “Concerning Three Classes of Non-Diophantine Arithmetics”, Involve, A Journal of Mathematics 15 (5), p. 763–774. doi:10.2140/involve.2022.15.763. 

• Carraher, David W.. (2015) “Powerful Ideas in Elementary School Mathematics”, Handbook of International Research in Mathematics Education (angle). Routledge. ISBN 978-1-134-62664-9.

• Cavanagh, Joseph. (19a de Decembro 2017) “6. Fixed-Point Multiplication”, Computer Arithmetic and Verilog HDL Fundamentals (angle). CRC Press. ISBN 978-1-351-83411-7.

• Chakraverty, Snehashish. (2022) Affine Arithmetic Based Solution of Uncertain Static and Dynamic Problems (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-031-02424-5.

• Chemla, Karine. (2023) Cultures of Computation and Quantification in the Ancient World: Numbers, Measurements, and Operations in Documents from Mesopotamia, China and South Asia (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-030-98361-1.

• Cignoni, Gioanni A.. (2016) “The Global Virtual Museum of Information Science & Technology, a Project Idea”, International Communities of Invention and Innovation: IFIP WG 9.7 International Conference on the History of Computing, HC 2016, Brooklyn, NY, USA, May 25-29, 2016, Revised Selected Papers (angle). Springer. ISBN 978-3-319-49463-0.

• Cohen, Joel S.. (3a de Januaro 2003) Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods (angle). CRC Press. ISBN 978-1-4398-6370-1.

• Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics. Metaphysics Research Lab, Stanford University (2023). Alirita 20 March 2024.

• Confrey, Jere. (28 June 1994) “Splitting, Similarity, and Rate of Change: A New Approach to Multiplication and Exponential Functions”, The Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics (angle). State University of New York Press. ISBN 978-1-4384-0580-3.

• Conradie, Willem. (2015) Logic and Discrete Mathematics: A Concise Introduction (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-76109-0.

• Cryer, C. W.. (2014) A Math Primer for Engineers (angle). IOS Press. ISBN 978-1-61499-299-8.

• Cunningham, Daniel W.. (2016) Set Theory: A First Course (angle). Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-68204-3.

• Curley, Robert. (2011) Computing: From the Abacus to the iPad (angle). Britannica Educational Publishing. ISBN 978-1-61530-707-4.

• Cuyt, Annie A. M.. (2008) Handbook of Continued Fractions for Special Functions (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6949-9.

• Davis, Andrew. (2017) Mathematical Knowledge for Primary Teachers (angle). Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-21901-9.

• De Cruz, Helen. (2010) “The Cognitive Basis of Arithmetic”, PhiMSAMP: Philosophy of Mathematics : Sociological Aspsects and Mathematical Practice (angle). College Publications. ISBN 978-1-904987-95-6.

• Dowker, Ann. (27a de Marto 2019) Individual Differences in Arithmetic: Implications for Psychology, Neuroscience and Education (angle). Routledge. ISBN 978-1-317-62743-2.

• Dreeben-Irimia, Olga. (2010) Patient Education in Rehabilitation (angle). Jones & Bartlett Publishers. ISBN 978-1-4496-1775-2.

• Drosg, Manfred. (2007) Dealing with Uncertainties. Springer. ISBN 978-3-540-29606-5.

• Duffy, Daniel J.. (2018) Financial Instrument Pricing Using C++ (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-17048-8.

• Duverney, Daniel. (2010) Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems (angle). World Scientific. ISBN 978-981-4307-46-8.

• Ebby, Caroline B.. (2020) A Focus on Addition and Subtraction: Bringing Mathematics Education Research to the Classroom (angle). Routledge. ISBN 978-1-000-22087-2.

• Emerson, Jane. (2014) The Dyscalculia Solution: Teaching Number Sense (angle). Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4729-2099-7.

• Eriksson, Kenneth. (2013) Applied Mathematics: Body and Soul: Volume 2: Integrals and Geometry in IRn (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-05798-8.

• Farmer, William M.. (1a de Januaro 2023) Simple Type Theory: A Practical Logic for Expressing and Reasoning About Mathematical Ideas (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-031-21112-6.

• Ferreiros, Jose. (2013) Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (angle). Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-5049-0.

• Gallistel, C. R.. (2005) “Mathematical Cognition”, The Cambridge Handbook of Thinking and Reasoning. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53101-6.

• Geary, David C.. (2006) “Development of Mathematical Understanding”, Handbook of Child Psychology, Cognition, Perception, and Language (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-05054-5.

• Gellert, W.. (2012) The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-6982-0.

• (2013) “Numerical Ability Predicts Mortgage Default”, Proceedings of the National Academy of Sciences 110 (28), p. 11267–11271. doi:10.1073/pnas.1220568110. 

• Goodstein, R. L.. (2014) Fundamental Concepts of Mathematics (angle). Elsevier. ISBN 978-1-4831-5405-3.

• (2023) “The Psychological Scaffolding of Arithmetic”, Psychological Review 131 (2), p. 494–522. doi:10.1037/rev0000431. 

• Grigorieva, Ellina. (2018) Methods of Solving Number Theory Problems (angle). Birkhäuser. ISBN 978-3-319-90915-8.

• (1935) “Significant Figures”, National Mathematics Magazine 10, p. 20–24. doi:10.2307/3028249. 

• Gupta, Rajesh Kumar. (2019) Numerical Methods: Fundamentals and Applications (angle). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-68660-0.

• Hafstrom, John Edward. (2013) Basic Concepts in Modern Mathematics (angle). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31627-7.

• Hamilton, Norman T.. (2018) Set Theory: The Structure of Arithmetic (angle). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-83047-6.

• Hart, Roger. (1a de Januaro 2011) The Chinese Roots of Linear Algebra (angle). JHU Press. ISBN 978-0-8018-9958-4.

• Haylock, Derek. (2008) Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers (angle). SAGE. ISBN 978-1-4462-0497-9.

• Numeral. HarperCollins (2022). Alirita 11 November 2023.

• Number System. HarperCollins (2022a). Alirita 11 November 2023.

• Arithmetic. HarperCollins (2022b). Alirita 19 October 2023.

• Higham, Nicholas. (2002) Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2‑a eldono, SIAM. doi:10.1137/1.9780898718027. ISBN 978-0-89871-521-7.

• Hindry, Marc. (2011) Arithmetics, Universitext. Springer. doi:10.1007/978-1-4471-2131-2. ISBN 978-1-4471-2130-5.

• Hodgkin, Luke. (21a de Februaro 2013) A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (angle). OUP Oxford. ISBN 978-0-19-166436-6.

• Hoffman, Joe D.. (2018) Numerical Methods for Engineers and Scientists (angle). CRC Press. ISBN 978-1-4822-7060-0.

• Hofweber, Thomas. (2016) “The Philosophy of Arithmetic”, Ontology and the Ambitions of Metaphysics (angle). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-876983-5.

• Philosophy of Mathematics. Metaphysics Research Lab, Stanford University (2023). Alirita 22 November 2023.

• Hua, Jueming. (2020) Thirty Great Inventions of China: From Millet Agriculture to Artemisinin (angle). Springer Nature. ISBN 978-981-15-6525-0.

• Husserl, Edmund. (2012) “Translator's Introduction”, Philosophy of Arithmetic: Psychological and Logical Investigations with Supplementary Texts from 1887–1901 (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-010-0060-4.

• Igarashi, Yoshihide. (2014) Computing: A Historical and Technical Perspective (angle). CRC Press. ISBN 978-1-4822-2741-3.

• (2019) ISO 80000-2: 2019 Quantities and units Part 2: Mathematics. International Organization for Standardization.

• ITL Education Solutions Limited. (2011) Introduction to Computer Science (angle). Pearson Education India. ISBN 978-81-317-6030-7.

• Jackson, Janna M.. (2008) “Reading/Writing Connection”, Handbook of College Reading and Study Strategy Research (angle). Routledge. ISBN 978-1-135-70373-8.

• Jena, Sisir Kumar. (2021) C Programming: Learn to Code (angle). CRC Press. ISBN 978-1-000-46056-8.

• Kaiser, Sarah C.. (2021) Learn Quantum Computing with Python and Q#: A Hands-on Approach (angle). Simon and Schuster. ISBN 978-1-61729-613-0.

• Analytic Number Theory. Springer (2014). Alirita 23an de Oktobro 2023.

• Number Theory. Springer (2020). Alirita 23an de Oktobro 2023.

• Karlsson, Anders. (2011) “Applications of Heat Kernels on Abelian Groups”, Number Theory, Analysis and Geometry: In Memory of Serge Lang (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-1259-5.

• Kay, Anthony. (2021) Number Systems: A Path into Rigorous Mathematics (angle). CRC Press. ISBN 978-0-429-60776-9.

• Khan, Khalid. (2018) Engineering Mathematics with Applications to Fire Engineering (angle). CRC Press. ISBN 978-1-351-59761-6.

• Khattar, Dinesh. (2010) The Pearson Guide To Objective Arithmetic For Competitive Examinations, 3/E (angle). Pearson Education India. ISBN 978-81-317-2673-0.

• Khoury, Joseph. (12a de Majo 2016) Mathematics That Power Our World, The: How Is It Made? (angle). World Scientific. ISBN 978-981-4730-86-0.

• Klaf, A. Albert. (30a de Novembro 2011) Trigonometry Refresher (angle). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15104-5.

• (2010) “To Carry or Not to Carry — Is This the Question? Disentangling the Carry Effect in Multi-digit Addition”, Acta Psychologica 135 (1), p. 67–76. doi:10.1016/j.actpsy.2010.06.002. 

• Klein, Andreas. (2013) Stream Ciphers (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-5079-4.

• Klein, Jacob. (2013a) Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra (angle). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31981-0.

• Kleiner, Israel. (2012) Excursions in the History of Mathematics (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8268-2.

• Klose, Orval M.. (2014) The Number Systems and Operations of Arithmetic: An Explanation of the Fundamental Principles of Mathematics Which Underlie the Understanding and Use of Arithmetic, Designed for In-Service Training of Elementary School Teachers Candidates Service Training of Elementary School Teacher Candidates (angle). Elsevier. ISBN 978-1-4831-3709-4.

• Knobloch, Eberhard. (13a de Novembro 2013) Seki, Founder of Modern Mathematics in Japan: A Commemoration on His Tercentenary (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-4-431-54273-5.

• Koepf, Wolfram. (2021) Computer Algebra: An Algorithm-Oriented Introduction (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-030-78017-3.

• Koetsier, Teun. (2018) The Ascent of GIM, the Global Intelligent Machine: A History of Production and Information Machines (angle). Springer. ISBN 978-3-319-96547-5.

• Koren, Israel. (2018) Computer Arithmetic Algorithms (angle). CRC Press. ISBN 978-1-4398-6371-8.

• Körner, T. W.. (24 October 2019) Where Do Numbers Come From? (angle). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-77594-6.

• Krenn, Stephan. (2023) An Introduction to Secret Sharing: A Systematic Overview and Guide for Protocol Selection (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-031-28161-7.

• Number Theory, Probabilistic Methods in. Springer (2018). Alirita 23an de Oktobro 2023.

• Real Number. Springer (2020). Alirita 23an de Oktobro 2023.

• Kupferman, Raz. (2015) Elementary School Mathematics For Parents And Teachers - Volume 1 (angle). World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4699-93-8.

• Křížek, Michal. (2021) From Great Discoveries in Number Theory to Applications (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-030-83899-7.

• Lang, Serge. (2002) “Taylor’s Formula”, Short Calculus: The Original Edition of "A First Course in Calculus", Undergraduate Texts in Mathematics (angle). Springer, p. 195–210. doi:10.1007/978-1-4613-0077-9_14. ISBN 978-1-4613-0077-9.

• Lang, Philippa. (13an de Oktobro 2015) Science: Antiquity and its Legacy (angle). Bloomsbury Publishing. ISBN 978-0-85773-955-1.

• Lange, Kenneth. (2010) Numerical Analysis for Statisticians (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-5944-7.

• (2015) “What Makes Mathematics Manipulatives Effective? Lessons From Cognitive Science and Montessori Education”, SAGE Open 5 (2). doi:10.1177/2158244015589588. 

• (2008) “Modular Arithmetic”, The Gale Encyclopedia of Science, 4‑a eldono, Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2.

• (2019) “Problematizing Teaching and Learning Mathematics as 'Given' in STEM Education”, International Journal of STEM Education 6 (1). doi:10.1186/s40594-019-0197-9. 

• Liebler, Robert A.. (2018) Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications (angle). CRC Press. ISBN 978-0-429-85287-9.

• Lockhart, Paul. (2017) Arithmetic. The Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-97223-0.

• Lozano-Robledo, Álvaro. (2019) Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry (angle). American Mathematical Soc.. ISBN 978-1-4704-5016-8.

• Luderer, Bernd. (2013) Mathematical Formulas for Economists (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-12431-4.

• Lützen, Jesper. (2023) A History of Mathematical Impossibility (angle). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-286739-1.

• (1997) “The Numbers Game: Playing up the importance of significant figures and scientific notation”, The Science Teacher 64, p. 16–18. 

• Ma, Liping. (2020) Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States (angle). Routledge. ISBN 978-1-000-02734-1.

• Madden, Daniel J.. (2017) An Introduction to Proof Through Real Analysis (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-31472-1.

• Mahajan, Sanjoy. (2010) Street-Fighting Mathematics: The Art of Educated Guessing and Opportunistic Problem Solving (angle). MIT Press. ISBN 978-0-262-26559-1.

• Marcus, Russell. (2016) An Historical Introduction to the Philosophy of Mathematics: A Reader (angle). Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4725-3291-6.

• Mazumder, Pinaki. (2023) Lectures on Digital Design Principles (angle). CRC Press. ISBN 978-1-000-92194-6.

• Mazzola, Guerino. (2004) Comprehensive Mathematics For Computer Scientists 1: Sets And Numbers, Graphs And Algebra, Logic And Machines, Linear Geometry (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-20835-8.

• Meyer, Carl D.. (2023) Matrix Analysis and Applied Linear Algebra: Second Edition (angle). SIAM. ISBN 978-1-61197-744-8.

• Monahan, John F.. (2012) “2. Basic Computational Algorithms”, Handbook of Computational Statistics: Concepts and Methods (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-21551-3.

• Moncayo, Raul. (2018) Lalangue, Sinthome, Jouissance, and Nomination: A Reading Companion and Commentary on Lacan's Seminar XXIII on the Sinthome (angle). Routledge. ISBN 978-0-429-91554-3.

• Mooney, Claire. (2014) Primary Mathematics: Teaching Theory and Practice (angle). Learning Matters. ISBN 978-1-4739-0707-2.

• Moore, Ramon E.. (2009) Introduction to Interval Analysis (angle). SIAM. ISBN 978-0-89871-669-6.

• Muller, Jean-Michel. (2009) Handbook of Floating-Point Arithmetic (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4705-6.

• Muller, Jean-Michel. (2018) Handbook of Floating-Point Arithmetic (angle). Birkhäuser. ISBN 978-3-319-76526-6.

• Musser, Gary L.. (2013) Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-48700-6.

• Definition of Arithmetic (angle) (2023). Alirita 19an de Oktobro 2023.

• Nagel, Rob. (2002) U-X-L Encyclopedia of Science (angle). U-X-L. ISBN 978-0-7876-5440-5.

• Nagel, Ernest. (2008) Godel's Proof (angle). NYU Press. ISBN 978-0-8147-5837-3.

• Nakov, Svetlin. (2013) Fundamentals of Computer Programming with C#: The Bulgarian C# Book (angle). Faber Publishing. ISBN 978-954-400-773-7.

• Number and Operations. National Council of Teachers of Mathematics. Alirita 21 November 2023.

• Nelson, Gerald. (2019) English: An Essential Grammar (angle). Routledge. ISBN 978-1-351-12273-3.

• Null, Linda. (2006) The Essentials of Computer Organization and Architecture (angle). Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-3769-6.

• Nurnberger-Haag, Julie. (2017) “Borrow, Trade, Regroup, or Unpack? Revealing How Instructional Metaphors Portray Base-Ten Number”, Transdisciplinarity in Mathematics Education: Blurring Disciplinary Boundaries (angle). Springer. ISBN 978-3-319-63624-5.

• O'Leary, Michael L.. (2015) A First Course in Mathematical Logic and Set Theory (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-90588-3.

• O'Regan, Gerard. (5a de Marto 2012) A Brief History of Computing (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-2359-0.

• Oakes, Elizabeth. (2020) Encyclopedia of World Scientists, Updated Edition (angle). Infobase Publishing. ISBN 978-1-4381-9545-2.

• Odom, Samuel L.. (2009) “Applying Lessons from Developmental Science to Early Education”, Handbook of Child Development and Early Education: Research to Practice (angle). Guilford Press. ISBN 978-1-60623-302-3.

• Oliver, Alexander D.. (2005) “Arithmetic, Foundations of”, The Oxford Companion to Philosophy. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-926479-7.

• Omondi, Amos R.. (2020) Cryptography Arithmetic: Algorithms and Hardware Architectures (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-030-34142-8.

• Ongley, John. (2013) Russell: A Guide for the Perplexed (angle). Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4411-9123-6.

• Ore, Oystein. (1948) Number Theory and Its History (angle). McGraw-Hill. ISBN 978-0-486-65620-5. OCLC 1397541.

• Orr, David B.. (1995) Fundamentals of Applied Statistics and Surveys (angle). CRC Press. ISBN 978-0-412-98821-9.

• Otis, Jessica Marie. (2024) By the Numbers: Numeracy, Religion, and the Quantitative Transformation of Early Modern England (angle). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-760877-7.

• Paar, Christof. (2009) Understanding Cryptography: A Textbook for Students and Practitioners (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-04101-3.

• Page, Robert L.. (2003) “Number Theory, Elementary”, Encyclopedia of Physical Science and Technology. Academic Press. ISBN 978-0-12-227410-7.

• Payne, Andrew. (2017) The Teleology of Action in Plato's Republic (angle). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879902-3.

• Peirce, Charles S.. (2015) Arithmetic (angle). Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-086970-5.

• Pharr, Matt. (2023) Physically Based Rendering: From Theory to Implementation, 4‑a eldono (angle), MIT Press. ISBN 978-0-262-37403-3.

• Pomerance, Carl. (2010) “IV.3 Computational Number Theory”, The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, p. 348–362. ISBN 978-1-4008-3039-8.

• Pomerance, C.. (11a de Decembro 1995) “Combinatorial Number Theory”, Handbook of Combinatorics (angle). Elsevier. ISBN 978-0-08-093384-9.

• Ponticorvo, Michela. (2019) “How to Improve Spatial and Numerical Cognition with a Game-Based and Technology-Enhanced Learning Approach”, Understanding the Brain Function and Emotions: 8th International Work-Conference on the Interplay Between Natural and Artificial Computation, IWINAC 2019, Almería, Spain, June 3–7, 2019, Proceedings, Part I (angle). Springer. ISBN 978-3-030-19591-5.

• Prata, Stephen. (2002) C Primer Plus (angle). Sams Publishing. ISBN 978-0-672-32222-8.

• Quintero, Ana Helvia. (2016) Math Makes Sense!: A Constructivist Approach To The Teaching And Learning Of Mathematics (angle). World Scientific. ISBN 978-1-78326-866-5.

• Rajan, Hridesh. (2022) An Experiential Introduction to Principles of Programming Languages (angle). MIT Press. ISBN 978-0-262-36243-6.

• Reilly, Norman R.. (2009) Introduction to Applied Algebraic Systems (angle). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-970992-2.

• Reitano, Robert R.. (2010) Introduction to Quantitative Finance: A Math Tool Kit (angle). MIT Press. ISBN 978-0-262-01369-7.

• Resnick, L. B.. (2012) Psychology of Mathematics for Instruction (angle). Routledge. ISBN 978-1-136-55759-0.

• Reynolds, Barbara E.. (12a de Marto 2008) “Abacus”, Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4559-2.

• Riesel, Hans. (2012) Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0251-6.

• Rising, Gerald R.. (2021) About Mathematics (angle). Linus Learning. ISBN 978-1-60797-892-3.

• Robbins, Neville. (2006) Beginning Number Theory (angle). Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-3768-9.

• Rodda, Harvey J. E.. (2015) Understanding Mathematical and Statistical Techniques in Hydrology: An Examples-based Approach (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-07659-9.

• Roe, John. (2018) Mathematics for Sustainability (angle). Springer. ISBN 978-3-319-76660-7.

• Romanowski, Perry. (2008) “Arithmetic”, The Gale Encyclopedia of Science, 4‑a eldono, Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2.

• Rooney, Anne. (2021) Think Like a Mathematician (angle). The Rosen Publishing Group. ISBN 978-1-4994-7092-5.

• Rossi, Richard J.. (2011) Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03057-8.

• Ruthven, Kenneth. (2012) “12. Calculators in the Mathematics Curriculum: The Scope of Personal Computational Technology”, International Handbook of Mathematics Education (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-1465-0.

• Sally, Judith D.. (2012) Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers (angle). American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-8798-1.

• Seaman, William. (2023) Chaos, Information, And The Future Of Physics: The Seaman-rossler Dialogue With Information Perspectives By Burgin And Seaman (angle). World Scientific. ISBN 978-981-12-7138-0.

• Shiva, Sajjan G.. (2018) Introduction to Logic Design (angle). CRC Press. ISBN 978-1-351-98983-1.

• Sierpinska, Anna. (1996) “Epistemologies of Mathematics and of Mathematics Education”, Alan J. Bishop: International Handbook of Mathematics Education: Part 1, Kluwer International Handbooks of Education, vol. 4 (angle). Springer Netherlands, p. 827–876. doi:10.1007/978-94-009-1465-0_23. ISBN 978-94-009-1465-0.

• Smith, David E.. (1958) History of Mathematics (angle). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-20430-7.

• Smyth, William. (1864) Elementary Algebra: For Schools and Academies (angle). Bailey and Noyes. OCLC 3901163143.

• Sophian, Catherine. (2017) The Origins of Mathematical Knowledge in Childhood (angle). Routledge. ISBN 978-1-351-54175-6.

• Sperling, Abraham. (1981) Mathematics. Elsevier Science. ISBN 978-0-7506-0405-5.

• Stakhov, Alexey. (2020) Mathematics Of Harmony As A New Interdisciplinary Direction And 'Golden' Paradigm Of Modern Science - Volume 2: Algorithmic Measurement Theory, Fibonacci And Golden Arithmetic's And Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic (angle). World Scientific. ISBN 978-981-12-1348-9.

• Sternberg, Robert J.. (12an de Oktobro 2012) The Nature of Mathematical Thinking (angle). Routledge. ISBN 978-1-136-48750-7.

• Stevenson, Angus. (2011) Concise Oxford English Dictionary: Luxury Edition (angle). OUP Oxford. ISBN 978-0-19-960111-0.

• Stewart, David E.. (2022) Numerical Analysis: A Graduate Course (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-031-08121-7.

• Strathern, Paul. (31 October 2012) Turing And The Computer (angle). Random House. ISBN 978-1-4481-0656-1.

• Swanson, Irena. (18a de Februaro 2021) Introduction To Analysis With Complex Numbers (angle). World Scientific. ISBN 978-981-12-2587-1.

• Swartzlander, Earl E.. (2017) “High-Speed Computer Arithmetic”, Digital Design and Fabrication (angle). CRC Press. ISBN 978-0-8493-8604-6.

• Tarasov, Vasily. (2008) Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems (angle). Elsevier. ISBN 978-0-08-055971-1.

• Taylor, Joseph L.. (2012) Foundations of Analysis (angle). American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-8984-8.

• Thiam, Thierno. (2019) Sustainability, Emerging Technologies, and Pan-Africanism (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-030-22180-5.

• Tiles, Mary. (2009) “A Kantian Perspective on the Philosophy of Mathematics”, Philosophy of Mathematics (angle). Elsevier. ISBN 978-0-08-093058-9.

• Uspenskii, V. A.. (2001) “Solvable and Unsolvable Algorithmic Problems”, Kvant Selecta: Combinatorics, I: Combinatorics, I (angle). American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-2171-8.

• Vaccaro, Alfredo. (2022) Affine Arithmetic-Based Methods for Uncertain Power System Analysis (angle). Elsevier. ISBN 978-0-323-90503-9.

• Verschaffel, Lieven. (2011) “Mental Arithmetic”, Encyclopedia of the Sciences of Learning (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-1427-9.

• Numeracy for All Learners (angle) (2023). Alirita 22 November 2023.

• Algebraic Number Theory. Springer (2019). Alirita 23 October 2023.

• Vullo, Vincenzo. (2020) Gears: Volume 3: A Concise History (angle). Springer Nature. ISBN 978-3-030-40164-1.

• Waite, Maurice. (2013) Pocket Oxford English Dictionary (angle). OUP Oxford. ISBN 978-0-19-966615-7.

• Wallis, W. D.. (2011) A Beginner's Guide to Discrete Mathematics (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8286-6.

• Wallis, W. D.. (2013) A Beginner's Guide to Discrete Mathematics (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3826-1.

• Wang, Hao. (1997) A Logical Journey: From Gödel to Philosophy (angle). MIT Press. ISBN 978-0-262-26125-8.

• Ward, J. P.. (2012) Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-5768-1.

• Wedell, Moritz. (2015) “Numbers”, Handbook of Medieval Culture. Volume 2 (angle). Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-037763-7.

• Weil, André. (2009) Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4571-7.

• Formalism in the Philosophy of Mathematics. Metaphysics Research Lab, Stanford University (2022). Alirita 22 November 2023.

• Wheater, Carolyn. (2015) Algebra I (angle). Dorling Kindersley Limited. ISBN 978-0-241-88779-0.

• Wilson, Robin. (2020) Number Theory: A Very Short Introduction (angle). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879809-5.

• Wright, Robert J.. (2011) Developing Number Knowledge: Assessment, Teaching and Intervention with 7-11 Year Olds (angle). SAGE. ISBN 978-1-4462-8927-3.

• Xu, Zhiwei. (1a de Januaro 2022) Computational Thinking: A Perspective on Computer Science (angle). Springer Nature. ISBN 978-981-16-3848-0.

• Yadin, Aharon. (2016) Computer Systems Architecture (angle). CRC Press. ISBN 978-1-315-35592-4.

• Yan, Song Y.. (2002) Number Theory for Computing (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-07710-4.

• Yan, Song Y.. (2013a) Computational Number Theory and Modern Cryptography (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-18858-3.

• Young, Cynthia Y.. (2010) Precalculus (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-75684-2.

• Young, Cynthia Y.. (2021) Algebra and Trigonometry (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-77830-1.

• Zhang, G.. (6 December 2012) Logic of Domains (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0445-9.

Eksteraj ligiloj

• http://www.orthopedagogiek.info/Testen%20onderwijs.htm Arkivigite je 2006-02-18 per la retarkivo Wayback Machine
• http://www.cito.nl/po/vakken/rekwisk/eind_fr.htm Arkivigite je 2006-02-16 per la retarkivo Wayback Machine
• http://www.music.indiana.edu/tml/9th-11th/ODOREG_TEXT.html Arkivigite je 2005-11-10 per la retarkivo Wayback Machine Reguloj pri abako
• En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Arithmetic en la angla Vikipedio.