Funkcio de Möbius

En matematiko, funkcio de Möbius μ(n) estas multiplika funkcio, uzata en nombroteorio kaj kombinatoriko.

Ĝi estas nomita en honoro de germana matematikisto August Ferdinand Möbius, kiu unue prezentis ĝin en 1831.

Difino

Funkcio de Möbius μ(n) estas difinita por ĉiuj pozitivaj entjeroj n. Ĝia valoro por ĉiu argumento estas unu el la nombroj -1, 0, 1 depende de la faktorigo de n en primajn faktorojn:

• μ(n) = 1 se n estas kvadrato-libera pozitiva entjero kun para kvanto de malsamaj primaj faktoroj.
• μ(n) = -1 se n estas kvadrato-libera pozitiva entjero kun malpara kvanto de malsamaj primaj faktoroj.
• μ(n) = 0 se n estas ne kvadrato-libera.
• μ(1) = 1
• μ(0) estas nedifinita.

Valoroj de μ(n) por n=1, 2, 3, ... estas:

1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, ...

Grafikaĵo de funkcio de Möbius

μ(n) = 0 se kaj nur se n estas dividebla per kvadrato (ne kvadrato-libera). La unuaj nombroj kun ĉi tiu propraĵo estas:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,...

Se n estas primo do μ(n) = -1, sed la reo ne estas vera. La unua neprima n por kiu μ(n) = -1 estas 30 = 2·3·5. La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 3 malsamaj primaj faktoroj estas:

30=2·3·5, 42=2·3·7, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, …

La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 5 malsamaj primaj faktoroj estas:

2310=2·3·5·7·11, 2730=2·3·5·7·13, 3570=2·3·5·7·17, 3990=2·3·5·7·19, 4290=2·3·5·11·13, 4830=2·3·5·7·23, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, …

La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 7 malsamaj primaj faktoroj estas:

510510=2·3·5·7·11·13·17, 570570=2·3·5·7·11·13·19, ...

Trajtoj

La funkcio de Möbius estas multiplika funkcio, kio estas ke μ(ab) = μ(a) μ(b) por ĉiuj a kaj b, kiuj estas reciproke primaj.

La sumo tra ĉiuj pozitivaj divizoroj de n de la funkcio de Möbius estas nulo se n≠1:

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&{\mbox{se }}n=1\\0,&{\mbox{se }}n>1\end{cases}}$

Ĉi tio estas konsekvenco de tio ke ĉe ĉiu ne-malplena finia aro estas ĝuste same multaj subaroj kun para kvanto de eroj kiel multaj estas subaroj kun nepara kvanto de eroj. Ĉi tio kondukas al la inversiga formulo de Möbius kaj estas la ĉefa kaŭzo kial la funkcio de Möbius estas uzata en teorio de multiplikaj kaj aritmetikaj funkcioj.

En nombroteorio, la alia aritmetika funkcio proksime rilatanta al la funkcio de Möbius estas la funkcio de Mertens, difinita kiel

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)$

por ĉiu natura nombro n. Ĉi tiu funkcio estas proksime ligita kun la pozicioj de nuloj de la rimana ζ funkcio. Vidu ankaŭ en konjekto de Mertens pri la ligo inter M(n) kaj la rimana hipotezo.

La serio de Lambert por la funkcio de Möbius estas

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q$

La serio de Dirichlet kiu generas la funkcion de Möbius estas la multiplika inverso de la rimana ζ funkcio

$\sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$

Ĉi tion eblas vidi de ĝia eŭlera produto

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\dots$

Vidu ankaŭ

• Inversiga formulo de Möbius
• Primo-kalkulanta funkcio

Eksteraj ligiloj

• A008683 en OEIS - valoroj de μ(n) por n=1, 2, 3, ...
• A013929 en OEIS - n por kiuj μ(n) = 0
• A007304 en OEIS - n kun 3 malsamaj primaj faktoroj por kiuj μ(n) = -1
• A046387 en OEIS - n kun 5 malsamaj primaj faktoroj por kiuj μ(n) = -1
• Jr. Ed Pegg, "La funkcio de Möbius (kaj kvadratoliberaj nombroj)", MAA surliniaj matematikaj ludoj (2003)
• Eric W. Weisstein, funkcio de Möbius en MathWorld.
• N. I. Klimov, funkcio de Möbius en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Komputado de la sumo de la funkcio de Möbius de Marc Deléglise kaj Joël Rivat, Eksperimenta matematika volumo 5, eldono 4291-295