Magia kvadrato

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Salti al navigilo Salti al serĉilo
La plej malgranda (kaj unika krom rotacioj kaj reflektoj de ĝi) netriviala norma magia kvadrato

Magia kvadrato estas kvadrata tabelo , plenigita per diversaj nombroj tiel, ke la sumo de nombroj en ĉiu horizontalo, vertikalo kaj diagonalo estas sama. Magiaj kvadratoj ekzistas por ĉiuj ordoj krom . La kazo estas triviala, ĉar tiuokaze la kvadrato konsistas nur el unu nombro.

Difinoj[redakti | redakti fonton]

La magia konstanto estas sumo de nombroj en iu horizontalo, vertikalo aŭ diagonalo de magia kvadrato. La magia konstanto de norma magia kvadrato de la ordo dependas nur de kaj ĝin oni povas kalkuli per la sekva formulo:

La komenco de la sinsekvo de la magiaj konstantoj de normaj magiaj kvadratoj M (n) () estas jena:

15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, … (A006003 en OEIS).

Klasifiko de magiaj kvadratoj[redakti | redakti fonton]

Se en kvadrato egalas nur la sumoj de horizontaloj kaj vertikaloj do oni nomas ĝin duonmagia.

Magia kvadrato de ordo estas norma se ĝi enhavas ĉiun pozitivan entjeron inter 1 kaj . Foje oni lasas la vorton “norma” kaj nomas norman magian kvadraton simple “magia kvadrato”.

Magia kvadrato estas asociecasimetria se sumo de ĉiuj du nombroj, simetriaj rilate de la centro, estas sama kaj egalas . Simetriaj kvadratoj ne ekzistas por nepare paraj ordoj ().

92 17 4 95 8 91 12 87 16 83
99 76 31 22 77 26 73 30 69 2
1 20 64 41 36 63 40 59 81 100
3 19 67 58 47 51 46 34 82 98
96 80 33 52 45 57 48 68 21 5
7 78 35 49 56 44 53 66 23 94
90 27 62 43 54 50 55 39 74 11
13 72 42 60 65 38 61 37 29 88
86 32 70 79 24 75 28 71 25 15
18 84 97 6 93 10 89 14 85 9

Se post forigo de la randoj de magia kvadrato restas magia kvadrato, do komenca kvadrato nomiĝas borderita. Se post forigo de la randoj restas borderita magia kvadrato, do komenca kvadrato nomiĝas samcentra borderita. Borderitaj kvadratoj ne ekzistas por ordo 4. Vidu la ekzemplon de samcentra borderita kvadrato de ordo 10 dekstre.

Magia kvadrato estas kunmetitakompunda se ĝi konsistas el pluraj magiaj kvadratoj, tute aŭ parte, kaj la subkvadratoj povas povas havi aŭ ne havi komunan parton. Laŭ tiu ĉi difino borderita magia kvadrato estas kunmetita. Sed foje oni postulas, ke subkvadratoj ne havu komunajn partojn kaj kune donu la tutan kunmetitan kvadraton, tiuokaze magian kvadraton kun malpligranda kvadrato ene de si oni nomas inkrustita, kaj la enan subkvadraton inkrustaĵo.

2 3 5 8
5 8 2 3
4 1 7 6
7 6 4 1

La kvadrato estas tut-diagonaladiabla magia kvadrato, se sumo de nombroj ankaŭ en rompitaj diagonaloj egalas al la magia konstanto. Do ne nur post rotacio aŭ reflekto, sed ankaŭ post translacio (supren/malsupren aŭ dekstre/maldekstre) la kvadrato restas magia. Rompita diagonalo iras trans rando de kvadrato kaj aperas el la kontraŭa rando, kvazaŭ la kvadrato estas volvita en toro. Aliaj nomoj de tiaj kvadratoj: perfektajĝajnaj kvadratoj. Vidu la ekzemplon de tut-diagonala kvadrato de ordo 4 maldekstre. Unu el rompitaj diagonaloj estas montrita sur ĝi per pli malhela koloro.

Ultramagia kvadrato samtempe estas asocieca kaj tut-diagonala. Tiaj kvadratoj ekzistas nur por ordoj .

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
  • Magia kvadrato estas plej perfekta magia kvadrato se tri kondiĉoj estas plenumitaj:
    1. La ordo de la kvadrato estas oblo de 4, do .
    2. En la kvadrato ĉiu subkvadrato de ordo havas saman sumon de ĉiuj siaj nombroj, kiu egalas , kie estas la magia konstanto. Se la magia kvadrato estas norma, do . Subkvadratoj oni konsideru ne nur tiujn, kiuj troviĝas ene de la magia kvadrato, sed ankaŭ tiujn, kiuj aperas trans la randoj de ĝi, inkluzive la kazon de la kvar angulaj ĉeloj de la magia kvadrato, kvazaŭ tiu lasta estas volvita en toro.
    3. Sumo de ĉiu paro da nombroj, kiuj situas en sama diagonalo (inkluzive rompitaj) distance je estas sama kaj egalas . Se la magia kvadrato estas norma, do . En la kvadrato dekstre ĉiu tia paro estas montrita per sia koloro.

Eblas aliaj klasifikoj de magiaj kvadratoj.

Transformoj, konservantaj magiecon[redakti | redakti fonton]

Por ĉiu magia kvadrato[redakti | redakti fonton]

  • Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni multiplikas ĉiujn ĝiajn nombrojn per iu konstanto.[1]
  • Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni adicias al ĉiuj ĝiaj nombroj aŭ subtrahas de ili iun konstanton, aŭ de iu konstanto subtrahadas ĉiujn ĝiajn nombrojn. Ĉe la okazo, ke oni subtrahadas de ĉiujn nombrojn de norma kvadrato, oni ricevas komplementon de la komenca kvadrato, ankaŭ norman.[1] En la sekva ekzemplo, se la nombrojn de la maldekstra kvadrato oni subtrahadas de 17, do oni ricevas la komplementon dekstre. Sed se la saman operacion oni faras por la dekstra kvadrato, do oni ricevas la komplementon maldekstre.
  • Ĉiun magian kvadraton oni povas turnireflekti kaj ricevi 8 triviale malsamajn magiajn kvadratojn. Ordinare oni rigardas ilin ĉiujn ekvivalentaj, kaj la tutan okopon nomas ekvivalentklaso.[1][2] Ordinare oni rigardas ekvivalentajn kvadratojn samaj. La 8 ekvivalentajn kvadratojn de ordo 3 vidu malsupre:
  • Ĉiu magia kvadrato restas magia, se oni interŝanĝas du horizontalojn, kiuj situas je sama distanco de la centro, kaj poste interŝanĝas du vertikalojn, kiuj situas je sama distanco de la centro. (Same estas se oni komence interŝanĝas vertikalojn kaj poste horizontalojn).[1] Vidu malsupre la ekzemplon, kie la dekstra magia kvadrato de ordo 4 povas esti ricevita el la maldekstra per interŝanĝo de la 1-an kaj 4-an horizontalojn kaj posta (aŭ antaŭa) interŝanĝo la 1-an kaj 4-an vertikalojn.

Historio[redakti | redakti fonton]

WP-TranslationProject TwoFlags.svg La sekcio "Historio" de ĉi tiu artikolo estis redaktita tiel ke ĝi entenas tutan aŭ partan tradukon de « Magic square » el la anglalingva Vikipedio. Rigardu la historion de la originala paĝo por vidi ties aŭtoroliston.
La kvadrato Lo Ŝu
La kvadrato Lo Ŝu en moderna formo

Ĉinio kaj Japanio[redakti | redakti fonton]

La unua nun konata norma magia kvadrato estas tiel nomata kvadrato Lo Ŝu (ĉine tradicie 洛書; simpligite 洛书; pinjine luò shū). Ĝi estas norma magia kvadrato de ordo 3. Ĉina legendo pri prahistoria Ju la Grana (大禹), la fondinto de la dinastio Xia, rakontas pri mistere aperinta testudo, sur kies karapaco nombroj ekde 1 ĝis 9 estis desegnitaj per rondaj punktoj. Lo Ŝu estis malklare menciita en ĉ. 650 a.K., en ĉ. 500 a.K. kaj en ĉ. 300 a.K., en 80 estis menciita klare kaj en 570 donita la kvadrato mem. Se Ju la Granda efektive vivis en 22-a21-a jarcentoj a.K kaj en lia tempo oni efektive konis la kvadraton Lo Ŝu, do plej verŝajne tiu estas la plej malnova norma magia kvadrato, konata de homoj.[3]

La paĝo, montranta magian kvadraton el verko de Cheng Dawei (程大位)

La aŭtoro de la plej malnova el ĝis nun konservintaj traktaĵoj pri magiaj kvadratoj en 1275 estis Yang Hui, sed lia verko estis kompilita el plu fruaj. Li donos unu norman magian kvadraton de ordo 3, po du kvadratojn por ĉiu ordo ekde 4 ĝis 8, unu kvadraton por ordo 8 kaj unu duonmagian kvadraton de ordo 10.[4]

Supre estas la normaj magiaj kvadratoj el la traktaĵo de Yang Hui, en kiuj oni povas trovi principon de Lo Ŝu. La kvadratoj de ordoj 5 kaj 7 estas borderitaj. En kvadratoj de ordo 8 kelkaj internaj subkvadratoj ankaŭ estas magiaj. La kvadrato de ordo 9 konsistas el 9 subkvadratoj de ordo 3, ankaŭ magiaj. Sed Yang Hui ne donis ĝeneralan metodon por konstruado de magiaj kvadratoj. Post Yang Hui magiaj kvadratoj nemalofte aperis en ĉina matematiko, sed la ĝenerala metodo ne aperis.[4]

En Japanio oni ekinteresiĝis pri magiaj kvadratoj en 17-a jarcento post disvastiĝo de verkoj de Yang Hui kaj Cheng Dawei, kaj en Japanio oni esploris magiajn kvadratojn multe pli rapide ol en Ĉinio. Seki Takakazu (japane 関 孝和) en 1683 jam donis algoritmojn por konstrui multajn magiajn kvadratojn de ordoj neparaj, unuope paraj () kaj duoble paraj ().[5]

Barato[redakti | redakti fonton]

La skemo de Kubera-kolam

En Barato oni uzis magian kvadraton por ritaj celoj ekde antikvaj tempoj kaj uzas nun. Kiel ekzemplo oni povas rigardi Kubera-kolam-on, la magian kvadraton de ordo . Fakte, estas la reflektita laŭ horizontala akso kvadrato Lo Ŝu, al kies nombroj oni aldonis po 19, do la magia konstanto estas 72. Tiun kvadraton oni kutime desegnas sur plankoj, en ĝiaj ĉeloj metas monerojn kaj florojn.

La plej malnova pseŭdo-magia kvadrato de ordo 4 oni trovis en verko de Varahamihira (sanskrite वराहमिहिर), skribita en ĉ. 587. En la verko la kvadrato ne havis iun magian kvaliton, ĝi estis nur helpilo por miksi el 16 ingrediencoj po 4 kaj ricevi diversajn parfumojn ĉiam samkvante. Jen tiu kvadrato:[6][7]

2 3 5 8
5 8 2 3
4 1 7 6
7 6 4 1

La magia konstanto estas 18. La kvadrato estas nek norma, nek magia, en ĝi la nombroj ekde 1 ĝis 8 aperas dufoje. Se la kvadrato estus magia, ĝi estus tut-diagonala aŭ diabla magia kvadrato. Krom tio, la kvadrato de Varahamihira estus plej perfekta magia kvadrato.

El la kvadrato de Varahamihira oni povas ricevi 4 diversajn normajn magiaj kvadratojn. Por tio oni aldonu po 8 al unu nombro el ĉiu paro de samvaloraj nombroj tiel, ke en ĉiu horizontalo, vertikalo kaj ambaŭ ĉefaj diagonaloj estu po 2 kaj nur po 2 aldonoj. Jen estas tiuj kvar kvadratoj:[8]

Konstruadon de magiaj kvadratoj de ordo 4 priskribis la barata metalurgisto kaj alkemiisto Nagarjuna(angle) en 10-a jarcento. Unu el donitaj de Nagarjuna magiaj kvadratoj estas nomita je lia honoro. Rimarkinde estas, ke la kvadrato de Nagarjuna ne povas esti konstruita per la metodo, donita de Nagarjuna.[7] Jen tiu kvadrato:

30 16 18 36
10 44 22 24
32 14 20 34
28 26 40 6

Estas tut-diagonala kvadrato. Ĝia magia konstanto estas 100. La kvadrato konsistas el po 8 membroj el du aritmetikaj vicoj, kies komencaj membroj estas 6 kaj 16 kaj komuna diferenco de najbaraj membroj estas 4.

La magia kvadrato de la templo Parshvanatha, Khaĝuraho, Barato

Sur la muro de la ĝajnista templo Parshvanatha en Khaĝuraho troviĝas la fama magia kvadrato de ordo 4, farita en 11-a12-a jarcento. Jen estas ĝi:

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4

Ĝi estas tut-diagonala kvadrato kaj havas la magian konstanton 34. Pro tiu ĉi kvadrato alia nomo de tut-diagonalaj kvadratoj estas “ĝajnaj kvadratoj”.[3][6][7]

Laŭ nunaj scioj, en Barato la unuan sisteman esploron de magiaj kvadratoj faris Thakkar Pheru (en) ĉ. 1315 en sia verko Ganitasara Kaumudi. La verko enhavas malgrandan parton pri magiaj kvadratoj. Tie li donis kvadraton de ordo 4 kaj rearanĝado de ĝi; klasifikis magiajn kvadratojn en tri grupoj (neparaj, pare paraj kaj nepare paraj) laŭ iliaj ordoj; donis kvadrato de ordo 6; priskribis po unu metodo por konstruado paraj kaj neparaj kvadratoj.

Narayana Pandita (bengale নারায়ণ পণ্ডিত) en sia verko de 1356) donis ĉiuflankan esploron de magiaj kvadratoj. Laŭ li, la koncepton de magia kvadrato homoj ricevis de Ŝivo.[6]

Irano, Arabio, Norda Afriko, Andaluso[redakti | redakti fonton]

Magia kvadrato de ordo 6 el manuskripto de 16-a jarcento

Kvankam oni nun ne scias pri la frua historio de magiaj kvadratoj en Irano kaj Arabio, tamen supozeblas, ke ili estis sciataj en praislama tempo.[9] Klaras, tamen, ke la esploro de magiaj kvadratoj estis ofta en mezepokaj Islamaj landoj, eble tio komenciĝis post la disvastigado de ŝako en la regiono.[10][11][12] La unua apero de magia kvadrato de ordo 3 (kiu iel eblas dati) troviĝas en alkemiaj verkoj de Jabir ibn Hayyan (721—815). Estas sciate, traktaĵoj pri magiaj kvadratoj estis skribitaj en la 9-a jarcento, sed la plej fruaj ĝis konserviĝintaj havas datojn el la 10-a jarcento: unu de Abu al-Wafa' Buzjani (ĉ. 998) kaj la alia de Ali b. Ahmad al-Antaki (ĉ. 987).[11][13] Tiuj fruaj traktaĵoj estis pure matematikaj, kaj magian kvadraton oni nomis harmonia dismetado de nombroj. El la traktaĵoj oni povas vidi, ke jam antaŭe matematikistoj de la pritraktata regiono scipovis krei borderitajn kvadratojn de ajna ordo, simplajn magiajn kvadratojn de malgrandaj ordoj (), kiujn oni uzis por konstruo de kunmetitaj magiaj kvadratoj.[11][13]

Ekzemploj de magiaj kvadratoj de ordoj ekde 3 ĝis 9 troviĝas en Enciklopedio de frataro de pureco (arabe رسائل إخوان الصفا) (ĉ. 983). La kvadratojn ekde 3 ĝis 7 el la verko vidu malsupre:[14]

En 11-a jarcento oni trovis kelkajn metodojn por konstrui magian kvadraton de neparaj kaj pare paraj () ordoj; pli komplikan problemon pri nepare paraj () ordoj solvis Alhazen en la dua duono de 11-a jarcento aŭ en la komenco de 12-a jarcento. Pli-malpli samtempe oni konstruadis tut-diagonalajn kvadratojn. Traktaĵoj pri magiaj kvadratoj multis en la 11-a kaj 12-a jarcentoj, plej ofte estas simpligo aŭ perfektigo de jam ekzistantaj metodoj. Komence de 13-a jarcento pli kaj pli ofte oni uzis magiajn kvadratojn por okultaj celoj, kaj plej ofte donis magiajn kvadratojn mem, sed ne metodojn por ilin konstrui.[11] Esceptoj malmultaj ekzistis, ekzemple, egiptiano Ahmad al-Buni, kiu donis ĝeneralajn metodojn por konstruo de borderitaj magiaj kvadratoj.[15]

Plej frue menciis ligon inter 7 magiaj kvadratoj kaj 7 planedoj la andalusano Ibn Zarkali (1029-1087).[16] Poste la tradicio ligi 7 certajn magiajn kvadratojn de ordoj ekde 3 ĝis 9 kaj uzi la kvadratojn en astrologiaj kalkuloj iĝis vaste konata, sed aperigis tiu ligo, verŝajne, araboj.[17][18]

Eŭropo[redakti | redakti fonton]

La paĝo el “Oedipus AegyptiacusAthanasius Kircher, 1653

Unuafoje en Eŭropo magiaj kvadratoj aperas en Andaluso, ĉe jam menciita Ibn Zarkali. Laŭ verko de tiu lasta en 1280-aj jaroj estis kompilita Libro de Astromagia,[19] atribuata al Alfonso la 10-a.[16][20] En la teksto de Alfonso diversordajn magiajn kvadratojn oni ligas kun diversaj planedoj; el ĉiuj konsideritaj kvadratoj en la manuskripto estas prezentita nur la kvadrato de ordo 3, ligita kun Marso.[16]

Ĉirkaŭ 1315 en Bizanca Imperio, laŭ arabaj fontoj, sed sen ties mistikemo, Manuel Moschopoulos (antikve-greke Mανουὴλ Μοσχόπουλος) verkis matematikan traktaĵon pri magiaj kvadratoj, kie li donis po du metodoj por neparaj kvadratoj kaj por pare paraj. Sed li restis nekonata ekster Bizanca Imperio ĝis la 17-a jarcento.[21]

Magiaj kvadratoj denove aperis en Florenco en 14-a jarcento. Kvadratoj kaj troviĝas en manuskripto Trattato d'Abbaco de Paolo Dagomari (12821374). Luca Pacioli (ĉ. 14471517) en sia verko De Viribus Quantitatis en la fino de 14-a jarcento priskribis magiajn kvadratojn de ordoj ekde ĝis . Estas interese, ke Paolo Dagomari, same kiel Luca Pacioli post li, rigardis magian kvadraton utilaj por elpensi matematikajn demandojn aŭ ludojn kaj preskaŭ ne menciis pri magia uzado de ili. Paolo Dagomari ja nomis ilin kvadratoj de la Suno kaj de la Luno kaj menciis, ke oni ilin uzas por astrologiaj kalkuloj, sed ne detaligis tion.

La detalo de la gravuro Melankolio fare de Alberto Durero. Meze malsupre du nombroj signifas la jaron de la kreado, aliaj malsupraj nombroj signifas la 4-an kaj 1-an literojn en alfabeto, la inicialojn de la aŭtora nomo

La planedaj kvadradoj disvastiĝis en norda Evropo en la fino de 15-a jarcento. Ekzemple, en la krakova manuskripto de Picatrix estas donitaj magiaj kvadradoj de ordoj ekde 3 ĝis 9. La sama kvadrataro, kvankam forte misformita, poste aperis en Archidoxis magica, atribuita de Paracelsus. En 1514 Alberto Durero eternigis kvadraton de ordo 4 en sia fama gravuro Melankolio. Agrippa von Nettesheim, la samtempulo de Paracelsus, publikigis sian trivoluman verkon De occulta philosophia en 1531, en ĝi li dediĉis la ĉapitron 22 el la volumo 2 al la planedaj kvadratoj (vidu ilin malsupre). La sama kvadrataro denove aperis en 1539 en Practica Arithmetice de Gerolamo Cardano. La tradicion de planedaj kvadratoj daŭrigis en 17-a jarcento Athanasius Kircher en Oedipi Aegyptici (1653). En Germanio ankaŭ estis skribitaj matematikaj traktaĵoj fare de Michael Stifel, kiu reinventis borderitajn kvadradojn, kaj de Adam Ries, kiu reinventis la metodon de kontinua numerado por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj, jam inventitan fare de Agrippa. Sed pro religiaj militoj iliaj verkoj estis nekonataj en la cetera Eŭropo.

En 1624 en Francio Claude-Gaspard Bachet de Méziriac priskribis “diamantan metodon” por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj de Agrippa en sia libro “Problèmes Plaisants”. Ankaŭ estas sciate, ke Blaise Pascal, Bernard Frénicle de Bessy kaj Pierre de Fermat scipovis konstrui samcentrajn borderitajn kvadratojn, la plej fruan raporton pri ilia metodo donis Antoine Arnauld en sia “Nouveaux éléments de géométrie” (1667).[22] En du traktaĵoj “Des quarrez magiques” kaj “Table générale des quarrez magiques de quatre de côté”, publikigitaj en 1693, je 20 jaroj post lia morto, Bernard Frénicle de Bessy demonstris, ke ekzistas ĝuste 880 diversaj magiaj kvadratoj de ordo 4, kaj priskribis metodojn por serĉi magiajn kvadratojn de ajna para ordo. En 1691 Simon de la Loubère en sia libro “Du Royaume de Siam” priskribis la baratan kontinuan metodon por konstruado de ordigitaj neparaj kvadratoj, kiun li eksciis dum diplomata vojaĝo. La metodo estis pli rapida ol “diamanta metodo”.


Palindrom TENET.svg

Literaj kvadratoj[redakti | redakti fonton]

Literaj kvadratoj estas kvadrata tabelo de literoj, el kiu formiĝas vortoj. Fama ekzemplo de tiuj estas la sator-kvadrato. Tiaj kvadratoj el literoj oni ofte ankaŭ nomas magiaj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Kraitchik, Maurice. (1953) “Magic Squares”, Mathematical Recreations, 2‑a eldono (angle), New York: Dover Publications, Inc., p. 142–192.
  2. Sallows, Lee (09 Januaro 2009). “The lost theorem”, The Mathematical Intelligencer (en) 19 (4), p. 51–54. doi:10.1007/BF03024415. 
  3. 3,0 3,1 Swaney, Mark. Mark Swaney on the History of Magic Squares (angle). Arkivita el la originalo je 2004-08-07.
  4. 4,0 4,1 O'Connor, J.J. kaj Robertson,E.F.. Yang Hui (angle).
  5. Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio. (1914) A history of Japanese mathematics. Open Court Publishing Company, p. 79–80.
  6. 6,0 6,1 6,2 Hayashi, Takao. (2008) “Magic Squares in Indian Mathematics”, Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, 2‑a eldono (angle), Springer, p. 1252–1259. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9778.
  7. 7,0 7,1 7,2 Datta, Bibhutibhusan; Singh, Awadhesh Narayan (1992). “Magic Squares in India”, Indian Journal of History of Science (en) (PDF) 27 (1), p. 51–120. 
  8. Hayashi, Takao (1987). “Magic Squares in India”, Historia Mathematica (en) (PDF) 14 (2), p. 159–166. doi:10.1016/0315-0860(87)90019-X. 
  9. Hogendijk, J. P.; Sabra A. I.. (2003) The Enterprise of Science in Islam: New Perspectives (angle). MIT Press, p. xv. ISBN 0-262-19482-1.
  10. Selin, Helaine; D'Ambrosio Ubiratan. (2001) Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics (angle). Springer, p. 160. ISBN 0-262-19482-1.
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 Sesiano, Jacques (novembro 2003). “Construction of magic squares using the knight's move in Islamic mathematics”, Archive for History of Exact Sciences (en) (PDF) 58 (1), p. 1–20. doi:10.1007/s00407-003-0071-4. 
  12. Sesiano, Jacques. (1997) “Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures”, Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (angle). Springer, p. 1259–1260.
  13. 13,0 13,1 Sesiano, Jacques. (2007) Magic squares in the tenth century: Two Arabic treatises by Antaki and Buzjani (angle). Springer.
  14. Cammann, Schuyler (Februaro 1969). “Islamic and Indian Magic Squares, Part I”, History of Religions (en) 8 (3), p. 181–209. doi:10.1086/462584. 
  15. Sesiano, Jacques (1994). “Quelques méthodes arabes de construction des carrés magiques impairs”, Bulletin de la Société Vaudoise des Sciences Naturelles (fr) (pdf) 83 (1), p. 51–76. doi:10.5169/seals-280519. 
  16. 16,0 16,1 16,2 Comes, Rosa. (2016) “The Transmission of Azarquiel's Magic Squares in Latin Europe”, Medieval Textual Cultures: Agents of Transmission, Translation and Transformation, Judaism, Christianity, and Islam – Tension, Transmission, Transformation 6 (angle). Walter de Gruyter GmbH & Co KG, p. 159–198. ISBN 9783110467307.
  17. Sesiano, Jacques. (2004) Les carrés magiques dans les pays islamiques (france). PPUR presses polytechniques.
  18. Schimmel, Annemarie. (1993) The mystery of numbers (angle). New York: Oxford University Press.
  19. Nun en la Vatikana Biblioteko (cod. Reg. Lat. 1283a).
  20. (1992) A. D’Agostino: Alfonso X el Sabio, Astromagia (MS Reg. lat. 1283a).
  21. Brown, Peter G.. The Magic Squares of Manuel Moschopoulos (angle). Mathematical Association of America" (julio 2012).
  22. (1999) Chabert Jean-Luc: A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer, p. 524. ISBN 3540633693.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]