Funkcio η

Por samtitola artikolo vidu la paĝon Funkcio de Dirichlet.

Funkcio η (aŭ funkcio η de Dirichlet — funkcio definita por kompleksaj argumentoj, kiel:

$\eta (z)=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta (z)$

kaj $\zeta (z)$ - funkcio ζ de Riemann.

Ceteraj difinoj

• Difino per senfina serio:

  $\eta (z)=\sum _{n=1}^{+\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{z}}.$

• Difino per integralo:

  $\eta (z)={1 \over \Gamma (z)}\int \limits _{0}^{+\infty }{x^{z-1} \over \exp(x)+1}\,dx$

  kaj $\Gamma (z)$ — funkcio Γ

Ecoj

• Reala parto de funkio η kaj reala parto de funkcio kun kompleksa konjugita argumento estas sama:

  $Re(\eta (z))=Re(\eta (z^{*}))$

• Imaginara parto de funkio kaj imaginara parto de funkio kun kompleksa konjugita argumento estas kontraŭa:

  $Im(\eta (z))=-Im(\eta (z^{*}))$

• Limeso en senfino egalas 1:

  $\lim _{Re(z)\to \infty }\eta (z)=1$

• Rekte videbla estas, ke (el supraj ecoj):

  $\lim _{Re(z)\to \infty }Re(\eta (z))=1$

  $\lim _{Re(z)\to \infty }Im(\eta (z))=0$.

Grafikaĵoj

• 
  η(x) por realaj nombroj. Imaginara parto estas nulo
• 
  Grafikaĵo de funkcio η(z) por tuta kompleksa surfaco.