Konverto de Mellin

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Konverto de Mellin estas integrala konverto, bindata kun serio de Dirihle (ruse : Ряд Дирихле), kun nombroteorio, kun Γ-funkcio, kun speciala funkcio kaj kun asimptota disocio (ruse : Асимптотическое разложение), ankaŭ bindata kun Laplaca konverto kaj Konverto de Fourier.

Integro[redakti | redakti fonton]

Rekta konverto donas formulon

\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx ,

Malrekta - formulon

\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds.

Ni konjektas, ke integralo integras en kompleksa ebeno.


Rilato kun ceteraj konvertoj[redakti | redakti fonton]

\left\{\mathcal{F} f\right\}(-s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(-is) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(-is).

Kaj reen:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(is).

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Integralo de Kaen-Mellin[redakti | redakti fonton]

Se

do[1]

e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds,
kie
\Gamma(s) — Γ-funkcio.

Konverto de Mellin en spaco de Lebeg[redakti | redakti fonton]

Por L^2(0,\infty) ajna fundamenta branĉo inkluzivas \tfrac{1}{2}+i\mathbb{R} .

Donas lineara bildigo \tilde{\mathcal{M}} :

\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx .

Tio estas

\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is).

Inversa teoremo de Mellin (angle : Mellin inversion theorem) demonstras, ke

\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds .

Krome, tiu bildigo estas izometria, tio estas

\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)} для \forall f\in L^2(0,\infty).

En probablokalkulo konverto de Mellin prezentas grava ilo por.

Se

  • D={s:a \leqslant \Re(s) \leqslant b},
  • a \leqslant 0 \leqslant b,
  • X — случайная величина,
  • X^{+}= max{X,0},
  • X^{-}=max{-X,0},,

do konverto de Mellin stimas kiel

\mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + i \int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),
kie
i — imaginara unuo.

Rimarkoj[redakti | redakti fonton]

  1. Hardy, G. H. (1916). "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", gazeto : Acta Mathematica, volumo : 41, numero : 1, paĝoj : 119–196. COI:10.1007/BF02422942 (See notes therein for further references to Cahen’s and Mellin’s work, including Cahen’s thesis.)

Literaturo[redakti | redakti fonton]

  • (2004) Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6. 
  • (2001) Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press. 
  • (1998) Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4. 

Flajolet, P. (1995). "Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums", gazeto : Theoretical Computer Science, volumo : 144, numero : 1-2, paĝoj : 3–58

Eksternaj ligiloj[redakti | redakti fonton]