Transformo de Mellin

El Vikipedio, la libera enciklopedio
(Alidirektita el Konverto de Mellin)
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco


Transformo de Mellin, aŭ Mellin-a transformo, estas integrala transformo, bindata kun serio de Dirichlet (ruse: Ряд Дирихле), kun nombroteorio, kun Γ-funkcio, kun speciala funkcio kaj kun asimptota elvolvaĵo (ruse: Асимптотическое разложение), ankaŭ bindata kun laplaca transformo kaj furiera transformo.

Integro[redakti | redakti fonton]

La rekta transformo donas la formulon:

\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx \, ,

kaj la inversa transformo formuliĝas:

\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds \, .

Ni konjektas, ke la integralo integras en kompleksan ebenon.

Rilato kun ceteraj transformoj[redakti | redakti fonton]

\left\{\mathcal{F} f\right\}(-s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(-is) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(-is) \, .

kaj reen:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(is) \, .

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Integralo de Cahen-Mellin[redakti | redakti fonton]

Se

do[1]

e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds,
kie
\Gamma(s) — Γ-funkcio.

Transformo de Mellin en spaco de Lebesgue[redakti | redakti fonton]

Por L^2(0,\infty) ajna fundamenta branĉo inkluzivas \tfrac{1}{2}+i\mathbb{R} .

Donas lineara bildigo \tilde{\mathcal{M}} :

\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx .

Tio estas

\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is).

Inversa teoremo de Mellin (angle: Mellin inversion theorem) demonstras, ke

\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds .

Krome, tiu bildigo estas izometria, tio estas

\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)} kie \forall f\in L^2(0,\infty).

Por probablokalkulo la transformo de Mellin prezentas gravan ilon.

Se

do transformo de Mellin stimas kiel

\mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + i \int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x) \, ,
kie
i — imaginara unuo.

Rimarkoj[redakti | redakti fonton]

  1. Hardy, G. H. (1916). "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", gazeto : Acta Mathematica, volumo : 41, numero : 1, paĝoj : 119–196. COI:10.1007/BF02422942 (Vidu notojn enen por pli da referencoj pri laboroj de Cahen kaj Mellin, kun tezo de Cahen.)

Literaturo[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]