Derivaĵo (matematiko)
Matematikaj funkcioj |
---|
fonta aro, cela aro • bildo, malbildo • bildaro, argumentaro |
Fundamentaj funkcioj |
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
Specialaj funkcioj |
erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
Nombroteoriaj funkcioj: |
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
Ecoj: |
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |
Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu ajn punkto estas la angula koeficiento de la grafeo de la funkcio ĉe tiu punkto.
Difino kaj simbolaroj
En analitiko la derivaĵo de reala funkcio de reala variablo en la punkto estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.
Pliprecize, funkcio difinita en ĉirkaŭaĵo estas derivebla en la punkto se ekzistas kaj estas finia la limeso:
La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto . Se funkcio estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo , tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en .
La derivaĵo en la punkto estas indikita per unu el la sekvaj simbolaroj:
- Laŭ la simbolaro de Lagrange
- Laŭ la simbolaro de Cauchy
- Laŭ la simbolaro de Leibniz:
- Historie la unua simbolaro estas ankoraŭ uzata en fiziko:
- Laŭ la simbolaro de Newton, derivaĵo rilate al la tempo t:
Maldekstra kaj dekstra derivaĵo
Nomiĝas maldekstra derivaĵo de f en x0:
Nomiĝas dekstra derivaĵo de f en x0:
Funkcio estas derivebla en , se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.
Teoremoj
Teoremo de Fermat
Estu:
- derivebla funkcio, do kontinua en , kie
- estas interna punkto al fonto-aro de la funkcio f, kaj
- estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio f,
tiam la derivaĵo de la funkcio en estas nula, tio estas .
Teoremo de Rolle
Estu kontinua funkcio en kaj derivebla en . Se , tiam ekzistas almenaŭ unu punkto en la intervalo , kies derivaĵo nuliĝas.
Teoremo de Lagrange
Estu kontinua funkcio en kaj derivebla en . Ekzistas almenaŭ unu punkto en la intervalo , kies derivaĵo egalas al .
Teoremo de Cauchy
Estu kaj kontinuaj funkcioj en kaj deriveblaj en kaj , tiam ekzistas almenaŭ unu punkto en tia, ke:
Teoremo pri konstanta funkcio
Funkcio estas konstanta en iu intervalo , s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo .
Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange.
Vidu ankaŭ
- Derivado
- Diferencialo
- Derivaĵo de ne entjera ordo
- Formulo de Faà di Bruno
- Parta derivaĵo
- Simetria derivaĵo
|