Eksponenta funkcio

La eksponenta funkcio, aŭ eksponencialo, estas unu de la plej gravaj funkcioj en matematiko. Ĝi estas skribita kiel exp(x) aŭ e^x, kie e egalas proksimume al 2.71828183 kaj estas la bazo de la natura logaritmo.

La eksponenta funkcio $y=e^{x}$ proksimiĝas al 0 por negativaj x, egalas al 1 por x=0, kaj pligrandiĝas rapide al infinito por pozitivaj x.

Kiel funkcio de la reela variablo x, la grafikaĵo de e^x estas ĉiam pozitiva (super la absciso (x-akso)) kaj rapide pligrandiĝas por x>0.

Inversa funkcio de eksponenta funkcio, la natura logaritmo, ln(x), estas difinita por ĉiuj pozitivaj x.

Iam, aparte en la naturscienco, la termino eksponenta funkcio estas uzata por ĉiuj funkcioj laŭ la formo ka^x, kie a. nomata la bazo, estas iu ajn pozitiva reela nombro. Ĉi tiu artikolo fokusiĝas pri la eksponenta funkcio kun bazo e.

Ĝenerale, la variablo x povas esti reela aŭ kompleksa nombro, aŭ eĉ de tute alia speco de matematika objekto; vidi la formalan difinon pli sube.

Proprecoj

Uzanta la naturan logaritmon, oni povas difini pli ĝeneralajn eksponentajn funkciojn. La funkcio

$\!\,a^{x}=e^{x\ln a}$

difinita por iu ajn a > 0, kaj iuj ajn reelaj nombroj x, nomiĝas eksponenta funkcio kun bazo a.

Notu ke la ekvacio pli supre evidente veras ankaŭ por a = e, ĉar

$\!\,e^{x\ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^{x}.$

La proprecoj:

$\!\,a^{0}=1$

$\!\,a^{1}=a$

$\!\,a^{x+y}=a^{x}a^{y}$

$\!\,a^{xy}=\left(a^{x}\right)^{y}$

$\!\,{1 \over a^{x}}=\left({1 \over a}\right)^{x}=a^{-x}$

$\!\,a^{x}b^{x}=(ab)^{x}$

Ĉi tiuj formuloj estas validaj por ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj a kaj b kaj ĉiuj reelaj nombroj x kaj y.

Esprimoj enigantaj frakciojn kaj radikojn povas ofte esti simpligitaj per la skribmaniero de eksponenta funkcio, ĉar:

${1 \over a}=a^{-1}$

kaj, por ĉiu a > 0, reelaj nombroj b, kaj entjeroj n > 1:

${\sqrt[{n}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{b}=a^{b/n}\ .$

Por iu ajn reala konstanto c, la sekvanta formulo validas:

$f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{ch}-1}{h}}=c$

pri : $\;\ f(h)=e^{ch}\ .$

Derivaĵoj kaj diferencialaj ekvacioj

Pri iu ajn punkto, la derivaĵo de la eksponenta funkcio egalas al la valoro de la funkcio. De punkto P sur la blua kurbo, tanĝanta linio (ruĝa), kaj vertikala linio (verda) estas montritaj, tial triangulo estas kreita; se la bazo de la triangulo (verda) estas 1, pri tiu punkto, la derivaĵo egalas al la tangento de la angulo, kiu estas la alto de la triangulo, do ankaŭ la valoro de la funkcio.

La graveco de eksponentaj funkcioj en matematiko kaj en sciencoj originas ĉefe pro propreco de iliaj derivaĵoj, aparte:

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

Tio estas, e^x estas sia propra derivaĵo, propreco unika inter reelaj funkcioj de reela varianto.

Oni povas skribi alimaniere ke

• la deklivo de la tanĝanto je la kurbo pri iu ajn punkto egalas la valoron de la funkcio je tiu punkto,
• la pligrandiĝo de la funkcio je x egalas la valoron de la funkcio je x,
• la funkcio solvas la diferencialan ekvacion: $y'=y\$.

Fakte, multaj diferencialaj ekvacioj elkovi eksponentajn funkciojn, inkluzivantaj la ekvacion de Schrödinger kaj la laplacan ekvacion, kaj ankaŭ la ekvaciojn pri simpla harmona delokigo.

Pri eksponentaj funkcioj per aliaj bazoj:

${d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}\,;$

tial ĉiu eksponenta funkcio egalas la produton de sia propra derivaĵo per konstanto.

Do se kreskanta aŭ malkreskanta deklivo estas proporcia kun ĝia amplitudo — tiel estas la kazo de senfina loĝantara kresko (vidu novmaltusanismo, de fruktuzanta kapitalo per kontinua interezo, aŭ de radioaktiva kadukiĝo — tiam la variablo povas esti skribita kiel produto de konstanto kun eksponenta funkcio de tempo.

Sed pli ĝenerale, por ĉiu diferencialebla funkcio f(x):

${d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}\,.$

Formala difino

La eksponenta funkcio (blua kurbo), kaj la sumo de la unuaj termoj n + 1 de la potencoserio (ruĝa kurbo).

La eksponenta funkcio e^x povas esti difinita diversmaniere, ekzemple per senfina serio. Aparte ĝi povas esti difinita per potencoserio:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

aŭ per la limigo de vico:

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.$

Cifereca valoro

Por ricevi la ciferecan valoron de la eksponenta funkcio, la malfinia serio povas esti reskribita tiel :

$e^{x}={1 \over 0!}+x\,\left({1 \over 1!}+x\,\left({1 \over 2!}+x\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)$

$=1+{x \over 1}\left(1+{x \over 2}\left(1+{x \over 3}\left(1+\cdots \right)\right)\right)$

Ĉi tiu esprimo konverĝos rapide, se oni povas certiĝi ke x valoro estas malpli ol unu.

Dank'al ĉi tiu certiĝo, por pli altaj valoroj de x, oni povas uzi jenan identon:

$e^{x}\,$	$=e^{z+f}\,$
	$=e^{z}\times \left[{1 \over 0!}+f\,\left({1 \over 1!}+f\,\left({1 \over 2!}+f\,\left({1 \over 3!}+\cdots \right)\right)\right)\right]\ ,$

• kie $z$ estas la entjera parto de $x$,
• kie $f$ estas la frakcia parto de $x$ ($f$ valoro estas ĉiam malpli ol 1),
• de ĉi tie $f$ plus $z$ egalas al $x$.

La valoro de la konstanto e^z povas esti kalkulita antaŭe per kalkulo de e kun eksponento z.

Sur la kompleksa ebeno

Konsiderante funkciojn sur la kompleksa ebeno, oni retenas ĉi tiajn gravajn proprecojn pri la eksponenta funkcio:

$\!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}$

$\!\,e^{0}=1$

$\!\,e^{z}\neq 0$

$\!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}$

por ĉiuj z kaj w.

Ĝi estas holomorfa funkcio kiu estas perioda kun imaginara periodo $2\pi i$, kaj povas esti skribita tiel

$\!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)\,,$

kie a kaj b estas reelaj valoroj. Ĉi tiu formulo trakonektas la eksponentan funkcion kun la trigonometriaj funkcioj kaj al la hiperbolaj funkcioj. Tial ni vidas ke ĉiuj elementaj funkcioj, krom la polinomoj, permesas esprimi la eksponentajn funkciojn.

Vidu ankaŭ jenon: Eŭlera formulo.

Etendanta la naturan logaritmon al kompleksaj argumentoj ($ln(z)$), oni povas tiam difini pli ĝeneralan potencigon:

$\!\,z^{w}=e^{w\ln z}$

por ĉiuj kompleksaj nombroj z kaj w.

Ĉi tiu estas vera ankoraŭ pri ne nur kompleksaj nombroj, sed ankaŭ pri funkcioj. La pli supre eksponentaj funkciaj leĝoj veras, kiam oni interpretas pozitive tiujn formulojn pri diversaj funkcioj kiel argumentoj. Tamen ĝenerale, la regulo pri la multipliko de pozitivaj reelaj eksponentoj ne validas:

$\,\!\,(e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}\,.$

La eksponenta funkcio konvertas ĉiun rekton en la kompleksa ebeno al logaritma spiralo en la kompleksa ebeno kun la centro je la fonto. Notindaj estas du kazoj: rekto paralela kun la reala akso kondukas al duonrekto, aŭ rekto paralela kun la imaginara akso transformiĝas al cirklo.

Duopa eksponenta funkcio

La termino duopa eksponenta funkcio povas havi du signifojn:

• funkcio kun du malsamaj eksponentaj argumentoj, laŭ la signo de la eksponento,
• funkcio $f(x)=a^{a^{x}}$; ĉi tiu kreskas pli rapide ol eksponenta funkcio; ekzemple, se a = 10: f(−1) = 1.26, f(0) = 10, f(1) = 10¹⁰, f(2) = 10¹⁰⁰ = guglo, f(3) = 10¹⁰⁰⁰, ..., f(100) = gugloplekso.

Faktoriala funkcio kreskas pli rapide ol eksponenta funkcio, sed malrapide ol duopa eksponenta funkcio.

Vidu ankaŭ

• Eksponenta funkcia kresko
• Eksponenta malkresko
• Faktorialo
• Potencigo
• Listo de eksponentaj funkciaj temoj
• Duopa eksponenta funkcio
• Supereksponenta funkcio
• Integrala eksponenta funkcio

Eksteraj ligiloj

• Interaktiva vidigo de eksponencialo kun kompleksa argumento